Рёбра и вершины параллелепипеда

Определения и обозначения

Параллелепипед — многогранник, у которого шесть граней являются параллелограммами. Его можно представить как объёмную коробку, ограниченную плоскими сторонами. Это определение помогает отличать параллелепипед от плоской фигуры и видеть в нём тело, а не отдельный параллелограмм.

Грань — плоская поверхность параллелепипеда. Всего у него шесть граней: верхняя и нижняя, передняя и задняя, левая и правая. Грани нужны, чтобы описывать, из каких плоских частей состоит поверхность объёмной фигуры.

Ребро параллелепипеда — отрезок, по которому пересекаются две его грани. У параллелепипеда двенадцать рёбер, и каждое из них является общей границей двух граней. По рёбрам удобно находить размеры фигуры и определять, какие части поверхности соединяются.

Вершина параллелепипеда — точка, в которой сходятся его рёбра. Всего у фигуры восемь вершин, обычно их обозначают буквами A, B, C, D, E, F, G, H. Вершины помогают называть рёбра и грани, например ребро AB или грань ABCD.

Как это устроено

Параллелепипед получается из трёх пар параллельных граней. Если взять одну грань, то напротив неё находится равная и параллельная грань, а остальные четыре грани соединяют соответствующие стороны этих двух граней. Поэтому всего образуются шесть граней, объединённых в три пары: верхняя с нижней, передняя с задней, левая с правой.

У каждой грани четыре стороны, но считать их подряд для всей фигуры нельзя: одно и то же ребро принадлежит двум соседним граням. Удобнее рассмотреть одну грань и противоположную ей: каждая из них содержит по четыре ребра, а три направления дают три набора таких рёбер. Поэтому число рёбер равно 3 · 4 = 12.

На одной грани находятся четыре вершины. Противоположная грань не имеет с ней общих точек, но также содержит четыре вершины, соединённые соответствующими рёбрами. Других вершин не появляется, поэтому получаем 4 + 4 = 8 вершин.

В каждой вершине встречаются три грани, и граница между каждой парой этих граней образует ребро. Значит, из одной вершины выходят ровно три ребра. Обратно, любое ребро начинается в одной вершине и заканчивается в другой, поэтому оно всегда соединяет две вершины.

Рёбра с общей вершиной легко узнать по их обозначениям: в названиях таких рёбер есть одна и та же буква, например AB и AD. Противоположные рёбра общей вершины не имеют и направлены одинаково, но расположены на разных частях фигуры. Все рёбра параллелепипеда разбиты на три направления: в каждом направлении четыре параллельных ребра, например AB, CD, EF и GH при обычной разметке.

Грани, рёбра и вершины параллелепипеда

Таблица помогает быстро восстановить устройство фигуры по любому из её элементов. Если известно количество пар граней или рёбер в одном направлении, можно проверить остальные сведения. При решении задач сначала определяйте, о каком элементе говорится, а затем используйте его связь с другими элементами.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке параллелепипед обозначен ABCDEFGH. Назовите рёбра, выходящие из вершины A. Нужно выбрать только те отрезки, которые имеют с точкой A общий конец.

1. Посмотрим на три грани, сходящиеся в вершине A.
2. На каждой из этих граней от A выходит по одному ребру, поэтому всего таких рёбер три.
3. При стандартной разметке это рёбра AB, AD и AE.

Ответ: AB, AD и AE.

Задача 2

Сколько рёбер и вершин у параллелепипеда? Объясним ответ через его грани, чтобы не пересчитывать элементы на чертеже по одному. Такой способ уменьшает риск пропустить невидимое ребро.

1. Грани разбиты на три пары противоположных граней.
2. Каждая пара содержит по две грани, а каждая грань имеет четыре стороны; с учётом трёх направлений получаем 3 · 4 = 12 рёбер.
3. На каждой из двух противоположных граней по четыре вершины, поэтому 4 + 4 = 8 вершин.

Ответ: у параллелепипеда 12 рёбер и 8 вершин.

Задача 3

В параллелепипеде ABCDEFGH найдите рёбра, параллельные ребру AB, и укажите, какие из них имеют с AB общую вершину. Сначала нужно определить все рёбра направления AB, а затем проверить их концы.

1. В стандартной разметке в направлении AB идут рёбра AB, CD, EF и GH.
2. Из них только AB имеет с самим собой общую вершину; остальные рёбра не содержат точки A или B.
3. Если под параллельными рёбрами понимаются другие рёбра, то это CD, EF и GH, и ни одно из них не имеет общей вершины с AB.

Ответ: AB, CD, EF и GH параллельны; среди других рёбер общей вершины с AB нет.

Типичные ошибки

Ошибка — считать каждое ребро только по одной грани или дважды учитывать общее ребро соседних граней. Так происходит, потому что одно ребро действительно является стороной сразу двух граней. Проверка: используйте три направления по четыре ребра и получите ровно 12.

Ошибка — путать вершины с гранями. Вершина — отдельная точка, а грань — плоская часть поверхности, поэтому они имеют разную форму и роль. Проверьте себя вопросом: можно ли назвать объект отрезком или параллелограммом; для вершины ответ будет отрицательным, а грань имеет форму параллелограмма.

Ошибка — считать, что любые два ребра параллелепипеда параллельны. Параллельными бывают только рёбра одного из трёх направлений, по четыре в каждом направлении. Чтобы проверить ответ, мысленно проведите направления рёбер: если они не совпадают, рёбра не параллельны.

Ошибка — называть противоположными любые рёбра без общей вершины. Кроме отсутствия общей вершины, такие рёбра должны занимать соответствующее положение на фигуре и иметь одно направление. Проверьте, лежат ли они на разных параллельных гранях и можно ли сопоставить их сдвигом без изменения направления.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно знать, что такое параллелограмм, отрезок и точка пересечения. Эти понятия помогают понять, из каких плоских частей состоит поверхность параллелепипеда и где находятся его рёбра.

Грани, рёбра и вершины встречаются при изучении куба, пирамиды и других многогранников. Умение считать и связывать элементы фигуры пригодится при исследовании их свойств.

Представление о рёбрах и вершинах помогает читать чертежи объёмных тел и описывать их модели. По этим элементам можно задавать фигуру, находить параллельные части и рассуждать о её размерах.

Что запомнить

• У параллелепипеда шесть граней.
• У параллелепипеда двенадцать рёбер.
• У параллелепипеда восемь вершин.
• В каждой вершине сходятся три ребра.
• Каждое ребро соединяет две вершины и принадлежит двум граням.
• Противоположные грани параллелепипеда параллельны.
• Рёбра параллелепипеда образуют три направления; в каждом направлении есть четыре параллельных ребра.