Геометрические фигуры

Определения и обозначения

Точка — геометрическая фигура без размеров. Её изображают маленьким следом на чертеже и обозначают одной заглавной латинской буквой, например A или O. Точки нужны, чтобы указывать положения и задавать другие фигуры.

Прямая — линия, у которой нет ни начала, ни конца. На рисунке показывают только её часть, но мысленно продолжают в обе стороны; обозначить прямую можно двумя точками, например AB, или строчной буквой l. Это помогает отличать бесконечную линию от её частей.

Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками. Эти точки называют концами отрезка и записывают его обозначение по ним: AB или BA. Порядок двух букв здесь не меняет сам отрезок.

Луч — часть прямой, ограниченная одной точкой и продолжающаяся в одну сторону. Ограничивающую точку называют началом луча и ставят первой в обозначении, например OA. Вторая буква показывает направление луча и любую точку на нём.

Угол образуют два луча с общим началом. Общая точка называется вершиной, а лучи — сторонами угла; угол с вершиной O и сторонами OA и OB обозначают ∠AOB или ∠BOA. При записи тремя буквами вершина всегда стоит посередине.

Как это устроено

Точка и прямая считаются исходными фигурами, потому что их не определяют через более простые геометрические объекты. Точка задаёт положение, но не имеет длины, ширины и высоты, а прямая задаёт бесконечное направление. От них удобно строить другие фигуры: отрезок и луч получают выделением частей прямой, а угол — соединением двух лучей.

Две различные точки задают единственную прямую, потому что через них можно провести одну и только одну ровную линию. Если попробовать провести другую прямую через те же точки, она должна совпасть с первой на обеих точках и потому не будет другой. Это свойство позволяет задавать прямую не описанием всей линии, а всего двумя её точками.

Чтобы получить отрезок из прямой, выбирают две точки и оставляют только часть между ними. Эти точки становятся концами, поэтому отрезок имеет конечную длину. Чтобы получить луч, отмечают одну точку и выбирают сторону продолжения: точка становится началом, а противоположная часть прямой не ограничивается.

Два луча образуют угол, если имеют общее начало. Общая точка принадлежит сразу обоим лучам и определяет место их соединения, поэтому её называют вершиной угла. Остальные части лучей расходятся от вершины и называются сторонами.

В обозначениях буквы являются именами фигур или их точек, а не самими фигурами. Две буквы AB могут назвать прямую или отрезок, поэтому смысл записи определяют по условию и рисунку; для луча первой будет буква его начала. В названии угла из трёх букв средняя буква обязательно обозначает вершину, иначе стороны угла определить нельзя.

Основные геометрические фигуры и их обозначения

В таблице сначала найдите нужную фигуру, затем сравните её устройство и характерные точки. Последний столбец показывает пример записи: буквы называют точки, а не заменяют саму фигуру.

Разбор задач

Задача 1

Условие. Отметьте точки A и B и проведите через них прямую. Запишите её обозначение. Нужно связать построение с правилом о двух точках.

1. Поставьте на листе две различные точки и подпишите их A и B.
2. Приложите линейку так, чтобы её край проходил через обе точки.
3. Проведите линию по обе стороны от точек, не ограничивая её ими.
4. Назовите полученную линию двумя точками A и B или одной строчной буквой, например l.

Ответ: проведённая фигура — прямая AB, также её можно обозначить прямой l. Запись AB здесь означает всю прямую, потому что по условию линия продолжается в обе стороны.

Задача 2

Условие. На прямой отмечены точки A, B и C в таком порядке. Назовите отрезки, на которые точка B делит отрезок AC. Требуется использовать порядок точек и найти пары, ограничивающие части.

1. Посмотрите на крайние точки: отрезок AC имеет концами A и C.
2. Точка B расположена между A и C, поэтому она разделяет исходный отрезок на две части.
3. Для первой части возьмите соседние точки A и B, а для второй — B и C.

Ответ: точка B делит отрезок AC на отрезки AB и BC. Каждый из них имеет два конца, поэтому обозначения составлены именно из пар соответствующих точек.

Задача 3

Условие. Проведите лучи OA и OB с общим началом O. Назовите вершину и стороны получившегося угла и запишите его обозначение. Главное — не перепутать общее начало с точками, задающими направления.

1. Отметьте точку O и проведите из неё луч через A.
2. Из той же точки O проведите второй луч через B.
3. Общую точку двух лучей назовите вершиной, а сами лучи — сторонами.
4. Запишите три буквы так, чтобы O оказалось посередине.

Ответ: вершина угла — O, его стороны — лучи OA и OB. Угол можно обозначить ∠AOB или ∠BOA, поскольку в обоих записях вершина стоит в середине.

Типичные ошибки

Прямую называют отрезком. Так происходит, когда смотрят только на нарисованную часть линии и забывают о её продолжении. Проверьте себя: у прямой нет концов, а у отрезка обязательно есть две ограничивающие точки.

Луч считают ограниченным двумя точками. Его путают с отрезком, потому что на рисунке луч тоже показывают короткой линией со стрелкой. Проверьте, есть ли у фигуры одно начало и продолжение в одну сторону: тогда это луч, а не отрезок.

В обозначении угла вершину ставят не на второе место. Ошибка возникает, если перечислять точки без учёта общего начала лучей. Найдите общую точку сторон и поставьте её букву в середину записи из трёх букв.

Букву принимают за саму точку. Буква является только именем, а точка — геометрическим объектом, отмеченным на чертеже. Чтобы проверить себя, отделите мысленно знак от того, что он обозначает: A — имя, а маленькая отметка на рисунке — точка.

Связь с другими темами

Перед изучением темы полезно научиться отмечать точки и читать заглавные латинские буквы. Это позволит правильно понимать записи фигур и не путать имя с изображением.

Точка, прямая, отрезок и луч понадобятся при изучении пересекающихся и параллельных прямых. Они также используются при построении многоугольников и других фигур.

Угол нужен для дальнейшего изучения его видов, измерения и свойств треугольников. Понимание вершины и сторон поможет читать чертежи и выполнять построения.

Что запомнить

• Точка обозначается заглавной латинской буквой.
• Через две различные точки проходит ровно одна прямая.
• Прямая не имеет концов.
• У отрезка два конца.
• У луча есть начало, но нет конца.
• Угол образуют два луча с общим началом.
• В обозначении угла тремя буквами буква вершины стоит посередине.