"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Решение текстовой задачи — это путь от описанной словами ситуации к математической модели и ответу. Чтобы пройти его, нужно выделить известные и неизвестные величины, понять связи между ними, выбрать действия или составить уравнение. Краткая запись, схема или таблица помогают не потерять важные данные. После вычислений обязательно проверяют, подходит ли результат условию, отвечает ли на поставленный вопрос и записан ли с правильной единицей измерения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Текстовая задача — описание реальной или учебной ситуации, в которой по известным данным нужно найти неизвестные величины. Например, в задаче о книгах говорится о начальном количестве, выдаче и возврате. Это определение помогает увидеть, что числа в тексте нужны не сами по себе: они описывают ситуацию и связаны между собой.
Условие задачи — сведения о ситуации: известные величины, связи между ними и ограничения. В условии могут быть указаны единицы измерения, порядок событий и то, что некоторые значения должны быть целыми или положительными. Выделив условие, легче понять, какие данные нужны для решения, а какие относятся к другим этапам ситуации.
Вопрос задачи — указание на величину или результат, который требуется найти. Он подсказывает, каким должен быть итог решения, и помогает не остановиться на промежуточном вычислении. Перед началом работы сформулируй вопрос своими словами: так проще понять, что именно записать в ответе.
Математическая модель — запись ситуации с помощью чисел, выражений, уравнений, схемы или таблицы. Например, равенство x + 7 = 25 выражает ситуацию, в которой неизвестное число увеличили на 7. Модель нужна, чтобы представить словесные связи в виде, с которым можно выполнять вычисления и рассуждать.
Сначала отдели известные величины от неизвестных и выясни, что именно спрашивается. Читай условие целиком: одно и то же число может относиться к разным моментам времени или разным предметам. Если обозначить величины словами или буквами, станет заметно, каких данных хватает и какой результат нужен.
Краткая запись, схема, таблица или чертёж помогают увидеть связи, потому что располагают данные рядом и показывают их порядок. В длинном тексте важное отношение легко потерять среди подробностей, а на схеме его можно обозначить стрелкой, отрезком или строкой таблицы. Выбирай форму, которая соответствует ситуации: для движения удобно сопоставлять расстояние, скорость и время, а для последовательных изменений — отмечать начальное и конечное количество.
Действие, выражение или уравнение выбирают не по отдельному слову в условии, а по зависимости между величинами. Если количество сначала уменьшилось, а потом увеличилось, нужно учесть оба изменения в правильном порядке. Если неизвестное входит в равенство с известными данными, его можно обозначить буквой и составить уравнение; когда неизвестных несколько, иногда требуется система уравнений.
Решение выполняют последовательно, потому что каждое действие должно опираться на уже известные данные или на результат предыдущего шага. Пояснение к действию показывает, какую величину нашли и зачем она нужна дальше. При решении уравнения записывай преобразования по порядку: тогда легче обнаружить ошибку и понять, как найдено неизвестное.
В конце подставь найденное значение в исходную ситуацию и проверь все связи, а не только последнее вычисление. Оцени, может ли ответ быть таким по смыслу: например, количество книг не бывает отрицательным. Затем сравни результат с вопросом и проверь единицы измерения; это помогает заметить ответ не на ту величину или пропущенный перевод единиц.
| Этап | Что сделать | Вопрос для самопроверки | Результат |
|---|---|---|---|
| Прочитать задачу | Понять ситуацию и выделить ключевые данные | О чём говорится в задаче? | Общее понимание условия |
| Составить краткую запись или схему | Обозначить величины, единицы измерения и связи между ними | Что известно и как величины связаны? | Модель задачи |
| Определить способ решения | Выбрать действия, выражение, уравнение или систему | Каким способом можно найти неизвестное? | План решения |
| Выполнить решение | Сделать вычисления или преобразования в нужном порядке | Все ли действия обоснованы? | Найденное значение |
| Проверить и записать ответ | Проверить результат и ответить на вопрос задачи | Подходит ли ответ условию и имеет ли он правильные единицы? | Оформленный ответ |
Пользуйся таблицей как последовательным планом: переходи к следующему этапу, когда можешь ответить на вопрос для самопроверки. Если решение застопорилось, вернись к условию или модели и проверь, правильно ли отражены связи между величинами. В конце таблица помогает не забыть проверку и запись ответа.
Условие: в библиотеке было 48 книг, за неделю выдали 17 книг, а затем вернули 9. Нужно найти количество книг после двух изменений. Сначала уменьшаем начальное количество на выданные книги, затем прибавляем возвращённые. Такой порядок повторяет события из условия.
Ответ: 40 книг.
Условие: после увеличения числа на 7 его значение стало равно 25. Требуется найти исходное число. Обозначим его буквой x: тогда увеличение описывается выражением x + 7, а итоговое значение — равенством x + 7 = 25. Уравнение связывает неизвестное с данными из условия.
Ответ: 18.
Условие: катер прошёл 36 км по течению за 2 часа, а против течения — 30 км за 2,5 часа. Нужно найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения. Обозначим скорость катера через x км/ч, скорость течения — через y км/ч. По течению скорости складываются, а против течения скорость течения вычитается из скорости катера.
Ответ: скорость катера в стоячей воде — 15 км/ч, скорость течения — 3 км/ч.
Неверно понять условие — значит использовать числа подряд, не выяснив, как они связаны с величинами. Так поступают, когда замечают числа, но не прослеживают порядок событий; например, сложение всех данных о книгах не даст нужного результата. Проверь себя: перескажи ситуацию и объясни, что означает каждое число.
Промежуточный результат иногда принимают за окончательный ответ, потому что после вычисления кажется, что задача уже решена. Но найденное значение может быть нужно только для следующего шага. Сверь его с вопросом задачи: совпадает ли величина, которую ты нашёл, с той, о которой спрашивают?
Нарушение единиц измерения приводит к неверным вычислениям, например, если сложить километры и метры как одинаковые единицы. Ошибку допускают, когда не проверяют, в каких единицах даны величины. Перед вычислением приведи их к одной единице, а после решения проверь, подходит ли единица ответа к искомой величине.
Непроверенное решение может дать отрицательное, слишком большое или бессмысленное значение. Иногда ученик доверяет вычислениям и не сопоставляет результат с реальной ситуацией. Подставь ответ в условие и оцени его смысл: количество предметов не может быть отрицательным, а скорость или время не должны противоречить данным задачи.
Для решения задач нужны навыки арифметических действий, работы с единицами измерения и решения простейших уравнений. Краткая запись, таблицы и схемы помогают представить условие, а умение читать математические выражения — переходить от слов к вычислениям и обратно. Эти приёмы будут полезны при изучении процентов и пропорций, задач на движение, систем уравнений и функций. Они также применяются в геометрии, когда по известным размерам и связям требуется найти неизвестную величину.
Как понять, какое действие выполнять первым?
Сначала выясни, как связаны величины и что именно требуется найти. Если неизвестное зависит от промежуточной величины, найди её первой; краткая запись или схема поможет увидеть порядок.
Когда для решения задачи нужно составлять уравнение?
Уравнение удобно составлять, когда есть неизвестная величина и её связь с известными данными можно записать равенством. Обозначь неизвестное буквой и составь равенство по условию задачи.
Зачем делать краткую запись, если условие уже дано текстом?
Краткая запись собирает известные и неизвестные величины в одном месте. Так легче заметить связи, не перепутать данные и выбрать нужные действия.
Как проверить, что полученный ответ подходит к задаче?
Подставь найденное значение в исходное условие и проверь, выполняются ли все связи. Затем оцени, реалистично ли число, отвечает ли оно на вопрос и указана ли правильная единица измерения.
Можно ли решить одну и ту же задачу разными способами?
Да, иногда задачу можно решить вычислениями, уравнением, таблицей или схемой. Способы могут отличаться, но каждый должен опираться на условие и приводить к ответу, который проходит проверку.
Решение задач
