"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Решение задачи — это путь от её условия к ответу с помощью математических действий, схем или уравнений. Чтобы пройти этот путь без ошибок, нужно выяснить, что известно и что требуется найти, установить связи между величинами и выбрать подходящий способ решения. Краткая запись помогает увидеть эти связи, а проверка — убедиться, что вычисления верны и найденная величина отвечает на вопрос задачи.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — это запись условия задачи с помощью чисел, выражений, схем или уравнений. Она переводит обычный текст на математический язык: например, «на 7 больше» можно записать как прибавление 7. По модели легче выбрать вычисления и не потерять связь между данными и искомым.
Краткая запись — упорядоченное представление известных и искомых величин, иногда в виде таблицы или схемы. В ней видно, что дано, что нужно найти и как величины относятся друг к другу. Такая запись помогает отделить важные сведения от лишних и не спутать данные.
План решения — последовательность действий, которая ведёт от условия к ответу. Действия в нём выбирают не наугад, а по связям между величинами: промежуточный результат может понадобиться, чтобы найти искомое. План помогает выполнять вычисления в понятном порядке и объяснять смысл каждого шага.
Проверка решения — установление того, что найденный результат удовлетворяет условию и отвечает на поставленный вопрос. Для этого можно подставить результат в отношения из задачи, оценить его по смыслу и проверить единицы измерения. Проверка помогает заметить ошибку, даже если вычисления выглядят правдоподобно.
Разбор начинается с внимательного чтения условия. Нужно понять, какие величины известны, какую требуется найти и что именно спрашивают: иногда вопрос относится не к промежуточной величине, а к результату нескольких действий. Затем стоит определить, какие слова задают отношения между величинами, например «всего», «на столько больше» или «поровну». Так становится понятно, какие сведения связаны между собой и в каком порядке их использовать.
Краткая запись или схема нужна не для переписывания всего условия, а для наглядного представления его существенных частей. Если известны количество и цена, их можно расположить рядом; если сравниваются два отрезка, полезно показать их длины на схеме. Такая форма помогает увидеть, какие величины относятся к одной ситуации, а какие данные не понадобятся. Поэтому перед вычислениями проще обнаружить пропущенную связь или неверно понятое сравнение.
Способ решения выбирают после того, как отношения между величинами стали ясны. Если известны нужные части, можно составить выражение; если искомое находится в несколько шагов, удобно выполнить цепочку действий. Уравнение подходит, когда неизвестную величину можно обозначить буквой и выразить условие равенством. Выбор способа зависит от задачи: цель одна — точно представить её связи и найти ответ.
Вычисления выполняют в соответствии с выбранным планом, поясняя, что означает каждый результат. Это позволяет заметить, если действие не ведёт к искомому или вместо нужной величины получена промежуточная. Единицы измерения следует контролировать на каждом шаге: например, расстояние в километрах нельзя без перевода делить на скорость в метрах в секунду. После вычислений запишите ответ словами и проверьте, что он согласуется с условием и отвечает на его вопрос.
Таблица помогает пройти решение по порядку: от понимания текста до проверки ответа. Заполняйте её мысленно или письменно, отмечая, что уже выяснено и какие связи ещё нужно использовать. Если на каком-то этапе возникает затруднение, вернитесь к условию или схеме и уточните смысл данных.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Понимание условия | Прочитать задачу и определить ситуацию. | Что происходит и о чём спрашивают? |
| Выделение данных и искомого | Отметить известные величины и неизвестную. | Не перепутать данные с ответом. |
| Построение краткой записи или схемы | Наглядно записать величины и их отношения. | Все ли связи понятны и нужны ли все данные? |
| Выбор плана и способа решения | Наметить действия, выражение или уравнение. | Как каждый шаг приблизит к искомому? |
| Выполнение действий | Решить задачу по плану и пояснить вычисления. | Верны ли вычисления и единицы измерения? |
| Проверка и запись ответа | Сопоставить результат с условием и записать ответ. | Отвечает ли результат на вопрос задачи? |
В одной коробке 18 карандашей, а в другой на 7 карандашей больше. Сколько карандашей в двух коробках? Сначала нужно определить количество во второй коробке: выражение «на 7 больше» означает, что к количеству в первой коробке прибавляют 7. После этого складывают количества из обеих коробок, потому что вопрос задан про них вместе.
Найдём количество карандашей во второй коробке: 18 + 7 = 25 (карандашей).
Сложим количество карандашей в обеих коробках: 18 + 25 = 43 (карандаша).
Проверка: во второй коробке действительно на 7 карандашей больше, чем в первой, а общее количество включает обе коробки. Ответ: 43 карандаша.
За 3 одинаковые тетради заплатили 96 рублей. Сколько стоят 5 таких тетрадей? Слово «одинаковые» означает, что цена каждой тетради одна и та же, поэтому сначала можно найти цену одной. Затем эту цену нужно умножить на 5: так мы найдём стоимость нужного количества тетрадей.
Найдём цену одной тетради: 96 : 3 = 32 (рубля).
Найдём стоимость пяти тетрадей: 32 · 5 = 160 (рублей).
Проверка: три тетради по 32 рубля стоят 96 рублей, как сказано в условии. Значит, цена использована верно. Ответ: 5 тетрадей стоят 160 рублей.
Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из пунктов на расстоянии 54 км. Их скорости равны 12 км/ч и 15 км/ч. Через сколько часов они встретятся? За один час первый проедет 12 км, а второй — 15 км; расстояние между ними уменьшится на сумму этих путей. Поэтому скорость сближения равна 12 + 15, а время можно найти делением исходного расстояния на неё.
Найдём скорость сближения: 12 + 15 = 27 (км/ч).
Найдём время до встречи: 54 : 27 = 2 (ч).
Проверка: за 2 часа велосипедисты вместе проедут 27 · 2 = 54 км — именно такое расстояние разделяло пункты. Ответ: велосипедисты встретятся через 2 часа.
Если начать вычисления, не выяснив вопрос задачи, легко получить промежуточную величину и принять её за ответ. Так происходит, когда ученик замечает знакомые числа, но не строит план. Перед записью ответа перечитайте вопрос и сравните его с тем, что нашли: например, спрашивают ли об одной коробке или о двух вместе.
Отношения «на несколько больше» и «в несколько раз больше» нельзя путать: первое связано с разностью и сложением, второе — с умножением. Путаница возникает из-за похожих слов, хотя смысл у них разный. Проверьте себя простым примером: «на 3 больше 5» — это 5 + 3, а «в 3 раза больше 5» — это 5 · 3.
Вычисления с разными единицами без перевода дают неверный результат. Например, километры и метры нельзя непосредственно складывать, а расстояние и скорость должны быть согласованы при нахождении времени. Ошибку допускают, когда смотрят только на числа; перед действием проверьте, совпадают ли единицы или можно ли их сократить.
Если не проверить результат и не записать ответ словами, верное число может не отвечать на вопрос или быть указано не в тех единицах. Иногда ученик останавливается на вычислении, потому что считает его концом решения. Подставьте результат в условие, оцените его по смыслу и сформулируйте ответ с названием искомой величины.
Для решения задач нужны навыки чтения математического текста, арифметических действий и работы с единицами измерения. Краткие записи, схемы и уравнения помогают разбирать задачи на движение, покупки, производительность и геометрические величины: во всех этих случаях важно установить связи между данными. Умение строить математическую модель пригодится при изучении уравнений, отношений и функциональных зависимостей, где текстовые условия тоже переводят на язык математики.
Зачем делать краткую запись, если условие можно перечитать?
Краткая запись собирает известные и искомые величины в одном месте, поэтому связи между ними легче заметить. Она также помогает не перепутать данные и увидеть, какие из них нужны для решения.
Как понять, какое действие нужно выполнить первым?
Сначала определите, какую величину нужно найти непосредственно по данным условия. Затем установите, как эта величина связана с искомой. Первым выполняют действие, которое находит нужную промежуточную величину.
Когда для решения задачи удобно составить уравнение?
Уравнение удобно, когда неизвестную величину можно обозначить буквой и записать условие как равенство. Особенно полезен этот способ, если неизвестное встречается в нескольких связанных частях задачи.
Как проверить ответ, если в условии нет готового результата для сравнения?
Подставьте найденные величины в отношения из условия и проверьте, выполняются ли они. Оцените также, подходит ли ответ по смыслу и единицам измерения, а затем убедитесь, что он отвечает именно на поставленный вопрос.
Что делать, если в задаче есть лишние данные?
Не включайте такое число в вычисления только потому, что оно дано. Составьте краткую запись и выясните, какие сведения нужны для получения искомой величины; лишние данные можно не использовать.
Решение задач
