"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Текстовая задача описывает ситуацию, в которой по известным данным нужно найти неизвестную величину. Чтобы решить её, недостаточно выбрать действие по знакомому слову: нужно понять, как связаны величины, и записать эту связь математически. Такая запись называется математической моделью. Она помогает составить выражение, уравнение, схему или таблицу, выполнить вычисления и проверить, отвечает ли результат на поставленный вопрос.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Текстовая задача — описание реальной или условной ситуации, в которой по известным данным нужно найти неизвестную величину. Иными словами, в условии рассказывается о величинах и их связях, а вопрос указывает, что требуется определить. Это определение помогает отличить задачу от простого вычисления: здесь сначала нужно понять ситуацию.
Математическая модель текстовой задачи — запись её условий с помощью чисел, величин, отношений, выражений, уравнений или схем. Модель передаёт существенные связи между данными в удобном для решения виде. Она нужна, чтобы перейти от рассказа к математическим действиям и не потерять смысл условия.
Неизвестная величина — величина, значение которой требуется определить по условию задачи. Её можно обозначить буквой, например x, но нужно пояснить, что именно означает эта буква. Такое обозначение помогает записывать связи и проверять, относится ли найденное число к вопросу задачи.
Решение текстовой задачи — последовательность рассуждений и вычислений, приводящая к ответу, который удовлетворяет условию. В решении есть не только результат вычислений, но и объяснение того, почему выбранные действия подходят. Это позволяет проверить ход мысли, а не только сравнить числа в ответе.
Сначала выдели известные данные и вопрос задачи. В условии могут встретиться сведения, которые не влияют на ответ, поэтому полезно спросить себя, какие данные связаны с тем, что требуется найти. Если записать важные величины отдельно, станет проще увидеть, чего не хватает и какие отношения между ними заданы.
Перед вычислениями полезно выбрать неизвестную величину и назвать её. Например, можно обозначить через x количество карандашей во второй коробке, а не просто написать «пусть x — число». Пояснение нужно, чтобы каждое действие и часть уравнения имели ясный смысл, а найденное значение можно было сопоставить с вопросом.
Отношения между величинами переводят в математические записи. Если во второй коробке на 7 карандашей больше, чем в первой, при 18 карандашах в первой получаем 18 + 7; если нужно найти общую стоимость, цену одной вещи умножают на количество. Для движения используют связь расстояния, скорости и времени: s = vt, где s — расстояние, v — скорость, t — время. Записывая отношение, проверяй, что величины и единицы измерения согласованы.
Способ решения зависит от того, как устроена задача. Если неизвестное участвует в нескольких связях, удобно обозначить его буквой и составить уравнение; если величина находится поэтапно, можно выполнить последовательные вычисления. Схема или таблица помогает, когда нужно наглядно сопоставить несколько величин или этапов. Выбирай тот способ, при котором понятно, откуда берётся каждое действие.
После вычислений проверь результат по условию. Подстановка в исходную связь показывает, не нарушено ли равенство, а оценка правдоподобия помогает заметить, например, отрицательное число предметов или неподходящий масштаб. Наконец, сверь найденную величину с вопросом и запиши ответ с её названием и единицей измерения, если она указана.
| Этап | Что сделать | На что обратить внимание |
|---|---|---|
| Понять условие: определить известные данные и вопрос | Выписать нужные величины и уточнить, что требуется найти | Не включать сведения, не связанные с вопросом |
| Выбрать неизвестную величину и обозначить её | Назвать величину буквой и пояснить обозначение | Указать смысл и, если нужно, единицу измерения |
| Составить математическую модель: записать связи между величинами | Составить выражение, уравнение, схему или таблицу | Отразить отношения из условия, а не просто переписать числа |
| Решить полученную задачу и найти значение неизвестной | Выполнить вычисления или решить уравнение | Следить за порядком действий и единицами |
| Проверить результат по условию и сформулировать ответ | Подставить значение, оценить его и ответить на вопрос | Записать название величины и единицу измерения |
Пользуйся таблицей как планом: переходи к следующему этапу, когда ясно, что сделано на предыдущем. Столбец с подсказками помогает заметить, где можно ошибиться, но не заменяет рассуждений. В простой задаче некоторые этапы займут одну строку, а в сложной к ним удобно возвращаться при проверке.
В одной коробке 18 карандашей, а в другой на 7 карандашей больше. Нужно найти количество карандашей во второй коробке. Слова «на 7 больше» сравнивают количество во второй коробке с количеством в первой: к меньшему количеству надо прибавить 7. Значит, модель задачи — выражение 18 + 7.
Ответ: во второй коробке 25 карандашей. Единица измерения здесь — карандаши, поэтому одного числа 25 без пояснения было бы недостаточно.
За 3 одинаковые тетради заплатили 240 рублей; требуется узнать стоимость 5 таких тетрадей. Сначала удобно найти стоимость одной тетради: одинаковые вещи имеют одинаковую цену, поэтому общую стоимость делим на количество. Затем умножаем цену одной тетради на 5. Это два шага одной модели: сначала цена единицы, потом стоимость нужного количества.
Ответ: 5 тетрадей стоят 400 рублей. Проверка опирается на одинаковую цену каждой тетради; если бы цены различались, такой способ не подошёл бы.
Велосипедист проехал 36 км, а весь маршрут составляет 54 км. Чтобы узнать оставшееся расстояние, нужно сравнить длину всего маршрута с уже пройденной частью. Скорость 12 км/ч позволяет дополнительно найти время, затраченное на пройденный путь, но не нужна для вычисления остатка, если известны оба расстояния. В условии нет данных о времени, которое велосипедист будет ехать дальше, поэтому нельзя определять оставшийся путь по оставшемуся времени.
Ответ: велосипедисту осталось проехать 18 км. Дополнительно можно найти пройденное время: 36 : 12 = 3 ч, но эти 3 часа не меняют ответа на вопрос о расстоянии.
Не выбирай действие только по словам «больше», «меньше» или «всего». Одно и то же слово может описывать разные отношения, а нужное действие зависит от того, какие величины сравниваются и что спрашивают. Проверь себя: перескажи условие своими словами и объясни, почему связь выражается сложением, вычитанием или другим действием.
Обозначить неизвестное буквой без пояснения — значит оставить неясным смысл записи. Из-за этого можно составить уравнение для другой величины и получить число, которое не отвечает на вопрос. До составления уравнения допиши, например: «x — количество карандашей во второй коробке»; после решения сверь значение именно с этим пояснением.
Уравнение, составленное по отдельным числам, может не отражать условие. Числа в записи должны быть соединены так, как связаны величины в задаче, иначе вычисление не решает исходную ситуацию. Проверь каждую часть уравнения: прочитай её словами и найди соответствующую связь в условии.
Записать только числовой ответ — недостаточно: число может быть промежуточным результатом, а единица измерения может оказаться неверной. Такую ошибку допускают, когда торопятся после вычисления. Проверь, что найдено именно требуемое, подставь результат в условие и запиши величину с названием и подходящей единицей измерения.
Для решения текстовых задач нужны действия с натуральными числами, дробями и десятичными числами, а также понимание отношений «на несколько больше» и «в несколько раз больше». Эти знания помогают верно прочитать условие и выполнить вычисления. Составление выражений и уравнений связывает задачу с алгебраической записью: словами заданная зависимость превращается в математическую модель.
Дальше те же навыки применяются в задачах на движение, работу, покупки и проценты. В каждой теме возникают свои величины и формулы, но порядок рассуждений остаётся знакомым: выделить данные, установить связи, найти неизвестное и проверить ответ. Поэтому умение моделировать условие помогает решать задачи с разным сюжетом.
Как понять, какое действие нужно выполнить в задаче?
Сначала выясни, какие величины известны и что требуется найти. Затем установи связь между ними: например, «на 7 больше» означает прибавить 7, а общая стоимость равна цене одной вещи, умноженной на количество. Выбор действия должен вытекать из этой связи, а не только из отдельного слова.
Зачем обозначать неизвестную величину буквой?
Буква позволяет записать неизвестное число и построить уравнение, отражающее условие задачи. Обязательно укажи, что именно обозначает буква и в каких единицах измеряется величина. Тогда будет легче проверить, соответствует ли уравнение вопросу.
Как проверить, правильно ли составлено уравнение?
Прочитай уравнение вместе с пояснением к неизвестной величине и сравни его части с условием. Каждая запись должна выражать нужную связь, например сумму, разность или равенство двух способов подсчёта. После решения подставь найденное значение обратно и проверь, выполняется ли условие.
Что делать, если в условии много чисел и сведений?
Отдели данные, нужные для ответа, от тех, которые не влияют на решение. Можно кратко записать величины и их единицы в таблицу или схему, а вопрос сформулировать отдельно. Если непонятно, зачем дано какое-то число, не используй его автоматически — сначала выясни его роль.
Почему найденное число может не быть ответом задачи?
Число может относиться к промежуточной величине, а не к тому, о чём спрашивают. Например, можно найти цену одной тетради, хотя требуется стоимость пяти. Сверь результат с вопросом, проверь единицы измерения и запиши, какую именно величину ты нашёл.
Текстовые задачи
