"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Схема автомобильных дорог — это упрощённое изображение дорог, населённых пунктов и других объектов, нужных для выбора пути. Она не повторяет каждый объект местности, зато сохраняет связи между пунктами и расстояния в заданном масштабе. По схеме можно определить длину отдельного участка, рассчитать полный маршрут через несколько пунктов и сравнить варианты поездки. Для этого важно правильно читать условные знаки, учитывать направление движения и переводить все измерения в одинаковые единицы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Схема автомобильных дорог — упрощённое изображение дорог и населённых пунктов, сохраняющее важные для маршрута связи и расстояния. На ней не показывают все здания, деревья и изгибы местности. Такая схема нужна, чтобы сосредоточиться на выборе пути и вычислении расстояний.
Масштаб — отношение расстояния на схеме к соответствующему расстоянию на местности. Например, масштаб 1:100 000 означает, что 1 см на схеме соответствует 100 000 см в действительности. Масштаб позволяет переводить измеренную длину отрезка в реальное расстояние.
Условный знак — специальное обозначение населённого пункта, дороги, перекрёстка или другого объекта. Один небольшой знак заменяет подробное изображение реального объекта. По условным знакам узнают, какие пункты соединены дорогами и где можно изменить направление движения.
Маршрут — последовательность участков дорог, по которым можно проехать от одного пункта до другого. В маршрут входят не только начало и конец, но и все промежуточные участки. Это понятие помогает правильно сложить длины дорог и сравнить разные варианты пути.
Схема не передаёт все детали местности, потому что для расчёта маршрута они обычно не нужны. Если изобразить каждый объект, схема станет перегруженной и её будет трудно читать. Поэтому оставляют дороги, пункты, перекрёстки, направления и другие сведения, влияющие на движение и расстояние.
Чтобы перевести длину отрезка, измеренную на схеме, в реальную, используют масштаб. При масштабе 1:n длину отрезка на схеме умножают на n, ведь знаменатель показывает, во сколько раз изображение уменьшено. Единицы нужно привести к одним, потому что складывать или сравнивать сантиметры, метры и километры без перевода нельзя.
Длина маршрута получается сложением расстояний отдельных участков между соседними пунктами. Автомобиль проезжает каждый такой участок, поэтому ни один из них нельзя пропустить. Сначала можно сложить длины на схеме, а затем перевести общую сумму по масштабу, либо перевести каждый участок отдельно и сложить реальные расстояния.
Если между пунктами есть несколько маршрутов, для каждого находят полную длину. Сравнивать нужно именно полные длины, а не отдельные участки, потому что короткий первый участок не гарантирует короткий весь путь. После сравнения выбирают кратчайший маршрут или тот, который соответствует дополнительному условию задачи.
Направления и условные знаки помогают отличить разрешённый путь по дорогам от прямого расстояния между пунктами. Линия между началом и концом маршрута может проходить не по дороге, а через местность, где проехать нельзя. Поэтому сначала прослеживают последовательность дорог и пунктов, а уже потом измеряют нужные участки.
| Элемент схемы | Что он показывает | Как используется при решении задачи |
|---|---|---|
| Масштаб | Соотношение расстояний на схеме и на местности | Перевод длины отрезка в реальное расстояние |
| Участок дороги | Часть пути между соседними пунктами | Измерение и последующее сложение расстояний |
| Населённый пункт или пункт маршрута | Место начала, окончания или изменения маршрута | Выбор последовательности движения |
| Условный знак | Способ обозначения объекта на схеме | Распознавание объектов и ограничений |
| Маршрут | Последовательность участков между пунктами | Сравнение вариантов пути |
Сначала определите, какие элементы схемы относятся к условию задачи, а затем установите последовательность движения. После измерения пользуйтесь масштабом и следите за единицами. Таблица помогает не смешивать назначение элементов схемы и порядок действий.
На схеме масштаба 1:200 000 расстояние между двумя пунктами равно 3,5 см. Нужно найти расстояние между ними на местности. Так как действительное расстояние больше изображения, длину на схеме умножаем на знаменатель масштаба.
Ответ: расстояние между пунктами равно 7 км.
Автомобиль едет из A в D через B и C. Длины участков на схеме равны 2,4 см, 3,1 см и 1,8 см, масштаб — 1:100 000. Сначала найдём общую длину изображения, потому что автомобиль последовательно проезжает все три участка.
Ответ: длина маршрута A–B–C–D равна 7,3 км.
Между A и D есть маршруты A–B–D и A–C–D. Пусть по схеме первый состоит из участков 2,6 см и 4,1 см, а второй — из участков 3,5 см и 2,8 см; масштаб 1:100 000. Сравним полные длины обоих путей, а не расстояния между A и D по прямой.
Ответ: короче маршрут A–C–D; его длина равна 6,3 км.
Неверное действие с масштабом. Иногда длину делят на знаменатель или получают реальное расстояние меньше изображения. Ошибка появляется, если забывают, что схема уменьшена. Проверьте себя: расстояние на местности обычно должно быть больше длины на схеме.
Забывают применить масштаб к сумме. Можно правильно сложить участки, но оставить результат в сантиметрах схемы. Это происходит потому, что сложение принимают за окончательное решение. После суммы спросите себя, указаны ли в ответе реальные единицы.
Смешивают единицы длины. Например, километры сравнивают с сантиметрами или складывают метры и километры без перевода. Такая ошибка меняет величину результата в десятки и сотни раз. Перед вычислениями выберите одну единицу, а в конце при необходимости переведите ответ.
Измеряют прямой отрезок вместо маршрута. Прямая между пунктами может быть короче дороги, которая поворачивает и проходит через промежуточные пункты. Ошибку допускают, когда не прослеживают заданную последовательность движения. Проверьте, что измерены и сложены именно участки указанного пути.
Для работы со схемой нужны умения измерять отрезки, переводить единицы длины, составлять пропорции и применять масштаб. Эти навыки встречаются в задачах о картах и планах местности. Понимание маршрутов пригодится при чтении карт, планировании поездок и расчёте расстояний.
Дальше схему можно использовать в задачах на скорость, время и стоимость поездки. Если известны длина маршрута и скорость, находят время движения, а по тарифу — расходы. Так геометрическое измерение связывается с практическими расчётами.
Как понять, что означает масштаб 1:100 000 на схеме?
Это означает, что 1 см на схеме соответствует 100 000 см на местности. После перевода единиц получаем: 100 000 см = 1 км, значит 1 см на схеме равен 1 км на местности.
Почему при нахождении длины маршрута нужно складывать несколько участков?
Маршрут состоит из последовательных участков дороги между соседними пунктами. Чтобы узнать весь путь, складывают длины всех участков, по которым движется автомобиль.
Как перевести сантиметры на схеме в километры на местности?
Сначала длину в сантиметрах умножают на знаменатель масштаба и получают расстояние в сантиметрах на местности. Затем сантиметры переводят в метры или километры: 100 000 см = 1 км.
Можно ли измерять расстояние между пунктами по прямой, если между ними есть дорога?
Нельзя, если требуется длина маршрута по автомобильным дорогам. Прямой отрезок показывает расстояние между пунктами напрямую, а дорога может иметь повороты и проходить через другие пункты.
Как выбрать кратчайший маршрут, если вариантов несколько?
Для каждого варианта нужно сложить длины всех его участков и перевести результаты в одинаковые единицы. Кратчайшим будет маршрут с наименьшей полной длиной, если нет дополнительных условий.
Схема автомобильных дорог
