"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Величины описывают свойства предметов и явлений: длину, площадь, объём, массу, время или скорость. Чтобы сравнить величины и использовать их в вычислениях, выбирают единицу измерения и находят, сколько таких единиц содержится в измеряемом объекте. Поэтому результат записывают числом вместе с единицей: одно и то же расстояние может быть выражено, например, в метрах или сантиметрах, но числовые значения будут разными. Главное — выбирать подходящие единицы и приводить их к общим перед сравнением и вычислениями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Измерение величины — сравнение величины с выбранной единицей измерения с помощью подходящего прибора или правила. Например, длину измеряют линейкой, а время — часами или секундомером. Измерение нужно, чтобы выразить свойство предмета числом и сравнивать его с другими такими же свойствами. Выбор способа зависит от того, какую величину измеряют.
Единица измерения — эталон, с которым сравнивают однородные величины и выражают результат измерения. Например, метр — единица длины, а килограмм — единица массы. Единица задаёт меру, относительно которой получают числовой результат. Без неё число не сообщает, какой именно размер, массу или длительность имеют в виду.
Числовое значение величины — число, показывающее, сколько единиц измерения содержится в величине. Например, в записи 2,5 м число 2,5 показывает количество метров. Для одной и той же длины значение в сантиметрах будет другим: 2,5 м = 250 см. Это понятие помогает отличать саму величину от числа, которым её выразили.
Однородные величины — величины одного вида, которые можно сравнивать, складывать и вычитать. Две длины, например 3 м и 40 см, однородны, а длина и масса — нет. Это различие нужно учитывать перед вычислениями: сначала убедись, что складываешь или сравниваешь величины одного вида. Если их единицы различаются, сначала удобно привести их к одной единице.
Результат измерения состоит из числа и единицы, потому что число само по себе не указывает, какую меру использовали. Запись «5» может означать пять метров, сантиметров, килограммов или минут. Единица уточняет смысл числа и позволяет понять, какую именно величину измерили. Поэтому при сообщении результата нельзя отделять число от подходящей единицы.
Числовое значение меняется вместе с выбранной единицей, потому что единицы могут быть разного размера. В метре помещается 100 сантиметров, значит, одна и та же длина содержит больше сантиметров, чем метров. При переходе от крупной единицы к более мелкой число умножают на соответствующий коэффициент, а при обратном переходе делят. Например, 3 м = 300 см, но 300 см = 3 м: длина осталась той же.
Единицы длины, площади и объёма связаны, но коэффициенты пересчёта для них различаются. Если 1 м = 100 см, то квадратный метр состоит из 100 рядов по 100 квадратных сантиметров, то есть 1 м² = 10 000 см². Для объёма учитываются уже три измерения: 1 м³ = 1 000 000 см³, а 1 м³ = 1000 л. Массу и время переводят по своим соотношениям: 1 кг = 1000 г, 1 мин = 60 с; скорость выражают, например, в м/с или км/ч.
Чтобы перевести величину, нужно определить, сколько новых единиц содержится в прежней единице, и изменить числовое значение соответственно. Например, при переводе метров в сантиметры число умножают на 100, а при переводе сантиметров в метры — делят на 100. Пересчёт меняет только способ записи, а не саму величину. Для площади и объёма коэффициент длины возводят соответственно в квадрат или куб, потому что меняется число единиц по двум или трём измерениям.
Сравнивать и складывать можно величины одного вида, поскольку только для них осмысленны отношения «больше», «меньше» и «вместе». Нельзя складывать длину и массу так же, как нельзя напрямую сравнить 2 м и 150 см по одним числам: единицы разные. Сначала переведи обе величины в одну единицу, затем сравни или выполни действие. Так, 2 м = 200 см, поэтому 2 м больше 150 см.
В таблице собраны распространённые величины, единицы и соотношения между ними. Перед переводом найди нужную строку и выясни, во сколько раз одна единица больше или меньше другой. Для площади и объёма особенно внимательно проверяй размерность: их соотношения нельзя переносить напрямую из строки о длине.
| Величина | Основная единица | Другие единицы | Связи между единицами | Пример записи |
|---|---|---|---|---|
| Длина | Метр | Миллиметр, сантиметр, дециметр, километр | 1 м = 100 см; 1 км = 1000 м | 2,5 м |
| Площадь | Квадратный метр | Квадратный сантиметр, квадратный километр | 1 м² = 10 000 см² | 6 м² |
| Объём | Кубический метр | Кубический сантиметр, литр, миллилитр | 1 л = 1000 мл; 1 м³ = 1000 л | 3 л |
| Масса | Килограмм | Грамм, тонна | 1 кг = 1000 г; 1 т = 1000 кг | 750 г |
| Время | Секунда | Минута, час, сутки | 1 мин = 60 с; 1 ч = 60 мин | 2 ч 15 мин |
| Скорость | Метр в секунду | Километр в час | 1 м/с = 3,6 км/ч | 5 м/с |
Задача 1. Выразить 4 м 7 см в сантиметрах и записать результат одной величиной. Здесь даны две части длины, но выражены они в разных единицах. Чтобы сложить их, переведём метры в сантиметры, а затем объединим однородные слагаемые.
Ответ: 407 см. Проверка: 407 см — это 400 см и ещё 7 см, то есть 4 м 7 см. Единица в ответе сохранена, поэтому запись сообщает и числовое значение, и то, что измерялась длина.
Задача 2. Сравнить 2,5 м и 245 см. Сравнивать непосредственно числа 2,5 и 245 нельзя, потому что они выражают длины в разных единицах. Переведём метры в сантиметры, чтобы сравнить числовые значения в одной и той же единице.
Ответ: 2,5 м > 245 см. Разность равна 250 см − 245 см = 5 см. Она положительна, поэтому результат сравнения согласуется с тем, что первая длина больше.
Задача 3. Прямоугольник имеет длину 1 м 20 см и ширину 75 см. Нужно найти площадь в квадратных сантиметрах и квадратных метрах. Сначала переведём обе стороны в сантиметры, чтобы перемножать одинаково выраженные длины, а затем отдельно переведём единицу площади.
Ответ: 9000 см², или 0,9 м². При вычислении площади сантиметры умножаются на сантиметры, поэтому получается квадратный сантиметр. Переводим именно единицу площади, а не длины: соотношение для квадратных метров отличается от соотношения для метров.
Записывать результат только числом — значит потерять информацию о том, в каких единицах выполнено измерение. Такую ошибку допускают, когда сосредоточиваются на вычислении и забывают дописать обозначение. Чтобы проверить себя, спроси: «Пять чего?» и сверь единицу с условием задачи. В ответе укажи число вместе с единицей измерения.
При переводе площадей ошибочно умножать на 100, используя соотношение для метров и сантиметров. Причина в том, что забывают: у площади две стороны, и коэффициент длины применяется дважды. Проверка: нарисуй квадрат 1 м на 1 м — в каждой стороне 100 см, значит, внутри 100 · 100 = 10 000 квадратов по 1 см². Поэтому 1 м² = 10 000 см², а не 100 см².
Нельзя сравнивать величины в разных единицах только по записанным числам. Например, из того, что 245 больше 2,5, не следует, что 245 см больше 2,5 м: значения выражены в разных мерах. Перед сравнением переведи обе величины в одну единицу и только потом сравни числа. Для проверки можно перевести результат обратно и убедиться, что величина не изменилась.
Сложение неоднородных величин или величин, записанных вперемешку в разных единицах, приводит к бессмысленному результату либо к пропуску части величины. Так бывает, если складывают, например, 3 м и 2 кг или не переводят 4 м 7 см в одну единицу перед записью общего результата. Проверь, что все слагаемые относятся к одному виду, а единицы согласованы. При смешанной записи сначала переведи части в одну единицу, затем сложи числа и укажи эту единицу в ответе.
Для работы с величинами нужны знания натуральных и десятичных дробей, а также умение умножать и делить на 10, 100 и 1000. Полезно знать основные единицы длины и их соотношения, чтобы уверенно переводить записи. Величины встретятся при изучении формул площади, объёма, скорости и масштабов, а также в практических задачах. Они нужны и при работе с координатами, графиками, пропорциями и физическими формулами, где единицы помогают проверять смысл вычислений.
Почему 1 м — это 100 см, а 1 м² — уже 10 000 см²?
Метр состоит из 100 сантиметров, а квадратный метр — это площадь квадрата со стороной 1 м. В каждой из двух сторон такого квадрата помещается 100 отрезков по 1 см, поэтому площадь содержит 100 · 100 = 10 000 квадратных сантиметров.
Можно ли складывать величины, записанные в разных единицах?
Можно, если величины однородные, то есть одного вида, например длины. Сначала их приводят к одной единице: например, 1 м + 20 см = 100 см + 20 см = 120 см.
Чем отличается величина от её числового значения?
Величина — это свойство предмета, например его длина. Числовое значение показывает, сколько выбранных единиц в ней содержится, поэтому оно зависит от единицы: 1 м и 100 см — одна длина, но разные числовые значения.
Почему при переводе метров в сантиметры число увеличивается?
Сантиметр меньше метра в 100 раз, поэтому в той же длине помещается больше сантиметров, чем метров. Например, 2 м — это 200 см: числовое значение увеличилось, но сама длина не изменилась.
Как понять, какую единицу измерения выбрать в задаче?
Выбирай единицу, которая подходит масштабу измеряемого объекта и делает вычисления удобными. Длину комнаты обычно выражают в метрах, а толщину тетради — в миллиметрах; при этом в одном вычислении единицы лучше заранее привести к общим.
Величины
