"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Числовые выражения складывают и умножают, чтобы записывать вычисления коротко и находить их результат. Если в записи есть сложение и умножение, значение зависит от того, в каком порядке выполнять действия: без скобок сначала умножают, потом складывают. Скобки задают другой порядок, например помогают сначала найти сумму, которая становится множителем. Действия одного порядка выполняют слева направо. Эти правила делают запись однозначной: любой человек вычислит её одинаково.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма — результат сложения. Числа, которые складывают, называют слагаемыми, а действие записывают знаком «+»: например, 4 + 6 — сумма чисел 4 и 6. Название помогает увидеть, какие части образуют результат сложения. Чтобы найти сумму, нужно сложить все её слагаемые.
Произведение — результат умножения. Числа, которые перемножают, называют множителями, а действие обозначают знаком «·»: например, 4 · 6 — произведение чисел 4 и 6. По такой записи видно, какие числа участвуют в умножении. Найти произведение — значит умножить один множитель на другой.
Числовое выражение — запись, составленная из чисел и знаков действий, например 8 + 2 · 3. Для выражения можно найти значение, то есть выполнить указанные действия и получить число. Понимание того, что именно требуется вычислить, помогает не путать запись с её результатом. Пока действия не выполнены, перед нами выражение, а не готовое значение.
Порядок действий — правила, которые определяют, в какой последовательности выполнять вычисления в выражении. Они нужны, чтобы одна и та же запись не давала разных ответов у разных людей. Например, в записи со сложением и умножением правила устанавливают, какое действие выполнить раньше. Скобки тоже помогают задать нужную последовательность.
Если в выражении есть только сложение и умножение, сначала выполняют умножение, а затем сложение. Это правило задаёт общий способ чтения записи: без него можно было бы получить разные результаты, вычисляя действия в разной последовательности. Например, 7 + 3 · 4 означает, что сначала нужно найти произведение 3 и 4, а затем прибавить 7. Так у выражения появляется одно определённое значение.
Скобки меняют обычный порядок действий: сначала вычисляют то, что заключено внутри них. Они нужны, когда автор записи хочет объединить числа и выполнить действие над ними прежде остальных. Например, в (7 + 3) · 4 сумма 7 + 3 становится одним множителем. Без скобок сначала пришлось бы выполнить умножение, и смысл записи был бы другим.
Если в выражении есть скобки и несколько действий, сначала выполняют действия внутри скобок. При этом внутри скобок действуют те же правила: умножение выполняют раньше сложения, а одинаковые по приоритету действия — слева направо. Такой подход позволяет не пытаться посчитать всё сразу. После вычисления скобок переходят к оставшейся части выражения.
Действия одного порядка выполняют слева направо. Например, в записи 2 · 3 · 4 сначала находят 2 · 3, затем результат умножают на 4; так же в 5 + 2 + 3 сперва складывают 5 и 2, а потом прибавляют 3. Если начать с правого края, вычисления будут устроены иначе, поэтому нужна единая последовательность. Правило применяется отдельно к действиям одного приоритета.
Если сумма является множителем, её сначала находят в скобках, а потом выполняют умножение. Скобки показывают, что все слагаемые вместе образуют один множитель, поэтому преждевременно умножать только одно из них нельзя. В выражении 2 · (5 + 3) сперва получают сумму 8, а затем находят произведение 2 · 8. Так запись точно передаёт, какие числа должны быть объединены до умножения.
| Случай | Что выполнять сначала | Что выполнять потом |
|---|---|---|
| Сложение и умножение без скобок | Умножение | Сложение |
| Сумма в скобках и умножение | Сложение в скобках | Умножение |
| Несколько действий умножения | Умножение слева направо | Следующее умножение слева направо |
| Несколько действий сложения | Сложение слева направо | Следующее сложение слева направо |
Сначала определите, есть ли в выражении скобки: заключённые в них действия имеют преимущество. Затем найдите действия умножения и сложения вне скобок и выполните их в нужной последовательности. Если действий одного вида несколько, двигайтесь слева направо.
В каждой задаче сначала определим, какие знаки действий есть в записи и есть ли скобки. Затем выполним вычисления по порядку и проверим, что нигде не пропустили действие. Запись промежуточных шагов помогает заметить ошибку и понять, откуда взялся ответ. В выражениях с несколькими действиями не стоит пытаться получить результат одним прыжком.
Ошибка: вычислять действия подряд слева направо в выражении со сложением и умножением без скобок. Так можно сначала сложить, например, 7 + 3 и получить неверное значение записи 7 + 3 · 4. Обычно это происходит потому, что правило приоритета умножения забывают. Проверьте себя: найдите все умножения и выполните их раньше сложения.
Ошибка: не замечать скобки и выполнять умножение раньше суммы внутри них. Например, в (7 + 3) · 4 это меняет заданную последовательность вычислений. Так случается, если ученик воспринимает скобки как украшение записи. Перед вычислением выделите скобки и сначала найдите их значение.
Ошибка: считать, что скобки обязательно меняют результат выражения. Скобки задают порядок действий, но в некоторых случаях он совпадает с обычным порядком, например когда скобки объединяют действия одного приоритета. Ошибку допускают, принимая наличие скобок за гарантию другого ответа. Чтобы проверить себя, вычислите запись со скобками и без них по правилам и сравните результаты.
Ошибка: выполнять одинаковые действия справа налево. Для нескольких умножений или сложений порядок принят слева направо, поэтому движение от правого края может нарушить правила. Путаница возникает, когда ученик помнит о приоритете действий, но забывает про одинаковый приоритет. Проверяйте запись по шагам: выбирайте самое левое действие среди тех, которые можно выполнять сейчас.
Для работы с выражениями нужно уметь складывать и умножать натуральные числа, а также находить значение простой записи с одним действием. Эти навыки позволяют сосредоточиться на порядке, а не отвлекаться на сами вычисления. Если таблица умножения и сложение освоены, можно проверять каждый промежуточный результат отдельно. Это хорошая основа для дальнейших вычислений.
Правила порядка действий пригодятся, когда выражение содержит больше операций, в том числе действия с дробями. Они также помогают при упрощении алгебраических выражений, где вместо чисел встречаются буквы. Привычка сначала разбирать скобки и приоритеты снижает риск ошибок в длинных записях. Поэтому эти правила используют во многих темах математики.
Почему в выражении 7 + 3 · 4 умножение выполняют раньше сложения?
Для выражений без скобок принято сначала выполнять умножение, а затем сложение. Это правило задаёт единый порядок вычислений, поэтому запись имеет одно значение. Здесь сначала находят 3 · 4 = 12, затем 7 + 12 = 19.
Что нужно делать первым, если сумма заключена в скобки?
Сначала вычисляют сумму в скобках, потому что скобки указывают на действие, которое нужно выполнить прежде других. Например, в (7 + 3) · 4 сначала получают 10, а потом умножают 10 на 4.
Как действовать, если в выражении несколько умножений?
Умножения имеют одинаковый приоритет, поэтому их выполняют слева направо. Например, в 2 · 3 · 4 сначала находят 2 · 3, затем умножают результат на 4.
В каком порядке выполнять несколько действий сложения?
Сложения выполняют слева направо, если между ними нет скобок, задающих иной порядок. Например, в 5 + 2 + 3 сначала складывают 5 и 2, затем к результату прибавляют 3.
Могут ли скобки не изменить значение выражения?
Да. Скобки задают порядок действий, но иногда этот порядок и без них был бы таким же. Например, в 2 · (3 · 4) и 2 · 3 · 4 умножения выполняются слева направо, поэтому значение в обоих случаях равно 24.
Выражения, содержащие сумму и произведение
