"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Числа помогают считать, сравнивать величины и выполнять измерения, а вычисления — находить результаты действий с ними. Натуральных чисел недостаточно для всех задач: при вычитании большего числа из меньшего появляются отрицательные числа и ноль, а для деления и измерений нужны дроби. Поэтому изучают целые и рациональные числа, их записи, расположение на числовой прямой, свойства действий и правила вычисления выражений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Натуральное число — число, используемое при счёте: 1, 2, 3 и так далее. В рассматриваемом учебнике 0 не относят к натуральным числам. Этот набор нужен для записи количества предметов и нумерации.
Целое число — натуральное число, противоположное ему число или ноль. К целым относятся …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … . Они позволяют выражать не только наличие или количество, но и долг, убыток, температуру ниже нуля.
Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби m/n, где m и n — целые числа и n ≠ 0. Числитель m показывает, сколько частей взято, а знаменатель n — на сколько равных частей разделили целое. Это понятие объединяет целые числа и различные дроби.
Арифметические действия — сложение, вычитание, умножение и деление. Их результатами являются сумма, разность, произведение и частное соответственно; при делении на ноль действие не определено. С помощью действий из известных чисел получают новые значения и решают практические задачи.
Натуральных чисел недостаточно, если из меньшего числа нужно вычесть большее: например, 3 − 8 не даёт натурального результата. Чтобы такое действие имело смысл, вводят отрицательные числа и ноль; тогда 3 − 8 = −5. Так появляется множество целых чисел, замкнутое относительно вычитания.
Дробь показывает результат деления числителя на знаменатель, поэтому рациональное число можно записать и обыкновенной дробью, и десятичной записью. Если деление заканчивается, получается конечная дробь, например 3/4 = 0,75. Если цифры после запятой повторяются, запись называют периодической: 1/3 = 0,(3); обе записи обозначают одно и то же число, потому что выражают один результат деления.
Числа удобно изображать точками на числовой прямой, где выбраны ноль и единичный отрезок. Положительные числа находятся правее нуля, отрицательные — левее, а чем дальше точка вправо, тем число больше. Поэтому −8 < −3: хотя модуль 8 больше модуля 3, точка −8 расположена левее.
Порядок действий нужен, чтобы одно выражение имело однозначный результат. Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, после них — сложение и вычитание; действия одинакового приоритета выполняют слева направо. Свойства сложения и умножения помогают менять группировку и порядок слагаемых или множителей, не меняя результата, а проверка обратным действием и примерная оценка обнаруживают ошибки.
| Числовое множество или запись | Какие числа включает | Примеры | Особенности |
|---|---|---|---|
| Натуральные числа | Положительные целые числа для счёта | 1, 2, 15, 100 | В учебнике 0 не включён |
| Целые числа | Натуральные, противоположные им числа и 0 | −7, −1, 0, 4 | Не содержат дробных частей |
| Рациональные числа | Числа вида m/n, m, n ∈ Z, n ≠ 0 | −3/5, 2, 0,75 | Включают целые и дробные числа |
| Обыкновенная дробь | Числитель и ненулевой знаменатель | ½, −7/3, 8/5 | Показывает деление числителя на знаменатель |
| Десятичная запись рационального числа | Целая и дробная части, разделённые запятой | 0,5; −2,75; 0,(3) | Запись бывает конечной или периодической |
Таблица помогает определить, к какому множеству относится число и в каком виде оно записано. При сравнении записей сначала можно перевести их к одному виду: например, обыкновенную дробь — в десятичную или к общему знаменателю. Нужно помнить, что разные записи могут обозначать одно число.
Условие: вычислить 348 + 527 и проверить результат вычитанием. Слагаемые удобно складывать по разрядам, чтобы единицы не смешивались с десятками и сотнями.
Ответ: 348 + 527 = 875. Проверка верна, потому что после вычитания одного слагаемого из суммы получилось другое слагаемое.
Условие: сравнить −3/4 и −0,7. Прямое сравнение неудобно из-за разных записей, поэтому приведём числа к десятичному виду.
Ответ: −3/4 < −0,7. При сравнении отрицательных чисел нельзя забывать, что больший модуль отодвигает точку левее нуля.
Условие: вычислить 18 − 2 · (3 + 1,5) : 3. Сначала найдём значение в скобках, затем выполним умножение и деление слева направо, а вычитание оставим напоследок.
Ответ: значение выражения равно 15. Оно правдоподобно: из 18 вычитается положительное число 3, поэтому результат должен быть меньше 18.
Ошибка: считать, что отрицательное число с большим модулем больше. Так происходит, когда сравнивают расстояния до нуля, а не положение точек; проверить себя можно на прямой: −8 левее −3, значит −8 < −3.
Ошибка: складывать или вычитать знаменатели дробей. Знаменатель показывает размер доли, поэтому сначала дроби приводят к общему знаменателю, а уже затем работают с числителями; результат можно проверить обратным преобразованием.
Ошибка: выполнять сложение раньше умножения или деления. Причина — чтение выражения только слева направо; нужно выделить скобки и действия высокого приоритета, а затем сверить число промежуточных шагов.
Ошибка: считать 0,5 и 1/2 разными числами. Различается только форма записи: деление 1 на 2 даёт 0,5, поэтому равенство проверяют переводом в общий вид.
До этой темы нужны навыки счёта, понимание разрядного состава натуральных чисел и умение выполнять действия с обыкновенными и десятичными дробями. Без них трудно правильно читать записи чисел и соблюдать порядок вычислений.
Числовые множества и правила действий понадобятся при решении уравнений, изучении отношений и пропорций, процентов и координатной прямой. Та же числовая прямая помогает понимать сравнение, координаты и расположение точек.
Входит ли ноль в множество натуральных чисел?
В рассматриваемом учебнике натуральными считаются числа 1, 2, 3 и так далее, поэтому 0 к ним не относят. Ноль рассматривается отдельно и входит в множество целых чисел.
Почему отрицательное число с большим модулем меньше?
Модуль показывает расстояние от числа до нуля, но у отрицательных чисел большее расстояние означает положение левее. Поэтому −8 расположено левее −3 и меньше него.
Как понять, что обыкновенная и десятичная дроби равны?
Нужно преобразовать одну запись в другую или привести их к общему виду. Например, ½ = 0,5, потому что деление 1 на 2 даёт 0,5.
В каком порядке выполнять действия в выражении?
Сначала выполняют действия в скобках, затем умножение и деление, а после этого сложение и вычитание. Действия одного уровня выполняют слева направо.
Как проверить, что вычисление выполнено верно?
Можно выполнить обратное действие: сложение проверить вычитанием, умножение — делением. Также полезно оценить результат примерно и убедиться, что он не противоречит условию.
Числа и вычисления
