"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Математика помогает описывать реальные ситуации числами и находить решения практических задач. С её помощью можно рассчитать стоимость покупок, время в пути, расстояние по плану, скидку или количество продукта. Главное — определить известные данные, выбрать величины и единицы измерения, составить математическую модель, выполнить вычисления и проверить, подходит ли результат к исходной ситуации.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Математическая модель — описание реальной ситуации с помощью чисел, величин, выражений, уравнений или чертежей. Она заменяет длинное описание короткой записью, с которой удобно работать. Модель нужна, чтобы увидеть связь между данными и выбрать способ решения.
Величина — свойство предмета или процесса, которое можно измерить и выразить числом с единицей измерения. Например, длина измеряется в метрах, масса — в килограммах, время — в часах. Понятие величины помогает точно описать ситуацию и сравнивать объекты.
Процент — одна сотая часть целого: 1% = 1/100. Процентами удобно показывать доли, скидки, наценки и изменения величин; например, скидка 15% означает уменьшение первоначальной цены на 15 сотых этой цены. При вычислении всегда нужно понимать, от какого целого берётся процент.
Масштаб — отношение длины на изображении к соответствующей длине в действительности. Запись 1:10 000 означает, что одной единице длины на плане соответствуют 10 000 таких же единиц в реальности. Масштаб позволяет измерять расстояния на карте, плане помещения или схеме и восстанавливать настоящие размеры.
Любая практическая задача начинается с наблюдения: нужно понять, что происходит в реальности. Например, покупатель видит цену одной тетради и количество тетрадей, а узнать хочет общую стоимость. Значит, известны цена и количество, а искомой величиной будет сумма покупки; такая формулировка сразу подсказывает нужное действие.
Затем выбирают величины и единицы измерения. Для поездки это могут быть расстояние в километрах, время в часах и скорость в километрах в час, а для рецепта — масса в граммах и объём в миллилитрах. Единицы должны подходить друг к другу, потому что число 2 может означать 2 м, 2 см или 2 км, а это совершенно разные длины.
Математическую модель строят по шагам: выделяют только нужные данные, обозначают неизвестное, устанавливают связь между величинами и записывают действие, формулу или уравнение. Если три одинаковых предмета стоят по одной цене, возникает умножение; если известны путь и время, можно применить формулу скорости v = s : t. После вычисления полезно записать ответ с единицей измерения и коротко объяснить его смысл.
Проверка нужна потому, что аккуратные вычисления не спасают от неверно понятых условий или неподходящих единиц. Результат сравнивают с исходными данными: цена нескольких товаров должна быть больше цены одного, а расстояние при большей скорости за то же время — не меньше. Такая проверка показывает, соответствует ли число реальной ситуации и не потерялась ли единица измерения.
| Ситуация | Что известно | Что требуется найти | Математический инструмент |
|---|---|---|---|
| Покупка со скидкой | Первоначальная цена и процент скидки | Размер скидки и новая цена | Процент, вычитание |
| Планирование времени в пути | Расстояние и скорость либо время | Недостающее расстояние, время или скорость | Формулы s = vt, v = s : t, t = s : v |
| Расчёт расстояния по плану | Длина на плане и масштаб | Действительное расстояние | Отношение и перевод единиц |
| Сравнение объёмов и масс | Значения величин и единицы измерения | Большую, меньшую величину или разность | Приведение единиц, сравнение, вычитание |
Таблицу удобно использовать как краткий план решения: сначала найдите строку, похожую на вашу ситуацию, затем отделите известные величины от искомой. В последнем столбце указано, какой математический инструмент помогает установить связь между данными. Перед вычислениями проверьте, что единицы в условии согласованы.
В магазине купили три одинаковые тетради по 45 рублей. Известна цена одной тетради и количество покупок, а найти нужно общую стоимость. Поскольку цена повторяется три раза, ситуацию удобно представить как сложение одинаковых слагаемых или умножение.
Ответ: за тетради заплатили 135 рублей. Единица «рубли» обязательна, потому что найдено не количество тетрадей, а стоимость покупки.
За 2 часа велосипедист проехал 28 км. Нужно определить, какое расстояние он проедет за 5 часов при той же скорости, поэтому сначала найдём скорость, а затем используем её для нового времени. Условие «с той же скоростью» означает, что за каждый час он проезжает одинаковое расстояние.
Ответ: велосипедист проедет 70 км. Единицы согласованы: километры делятся на часы, а затем километры в час умножаются на часы.
Масштаб плана равен 1:10 000, а расстояние между точками на плане составляет 6,4 см. Это означает, что каждый сантиметр на плане соответствует 10 000 см в действительности. Требуется получить ответ в метрах, поэтому после умножения нужно перевести сантиметры в метры.
Ответ: расстояние между точками равно 640 м. При работе с масштабом сначала сохраняйте одинаковые единицы, а перевод выполняйте после применения отношения.
Ученик иногда подставляет в вычисления все данные подряд, не выяснив, что требуется найти. Так происходит из-за желания использовать каждое число из условия, но лишняя информация может изменить решение. Сначала сформулируйте искомое и отметьте только те данные, которые связывают его с известными величинами.
Нельзя смешивать единицы измерения: например, складывать метры и сантиметры как одинаковые числа. Ошибка возникает, когда ученик помнит числа, но не учитывает их единицы. Перед действием переведите всё в метры или всё в сантиметры, а затем проверьте единицу результата.
Процент иногда считают просто числом и забывают, от какой величины его находят. Например, 20% от цены товара и 20% от общей стоимости — не обязательно одно и то же. Запишите целое, от которого берётся процент, и используйте формулу a · p : 100.
Практический ответ может быть вычислен правильно, но не подходить к ситуации. Скидка, выраженная в рублях, не должна превышать исходную цену, а время или расстояние не могут иметь случайную единицу. Сравните результат с условием, оцените его порядок и выполните обратное действие, если это возможно.
До этой темы нужно уметь выполнять действия с натуральными и десятичными числами, а также работать с единицами длины, массы, времени и стоимости. Эти навыки нужны, потому что практическая задача соединяет вычисления с измерениями.
Отношения и пропорции помогают находить проценты, использовать масштаб и решать задачи на движение. Они показывают, как одна величина изменяется вместе с другой.
Математические модели пригодятся при изучении уравнений и практических текстовых задач. Сначала модель строится для конкретной жизненной ситуации, а затем тот же способ рассуждения переносится на более сложные условия.
Зачем составлять математическую модель, если условие можно решить сразу?
Модель помогает перевести жизненную ситуацию на понятный математический язык: выделить данные, неизвестное и связь между ними. Благодаря этому легче выбрать действие или формулу и не использовать лишние сведения.
Как понять, какие данные задачи действительно нужны?
Сначала определите, что требуется найти, а затем выясните, какие величины непосредственно связаны с искомым. Если после вычислений какое-то число не использовано и без него решение не меняется, оно, скорее всего, лишнее.
Почему перед вычислениями важно перевести величины в одинаковые единицы?
Числа с разными единицами нельзя правильно складывать, сравнивать или подставлять в одну формулу. Например, 2 м и 30 см нужно представить как 2 м и 0,3 м или как 200 см и 30 см.
Как найти процент от числа?
Процент переводят в дробь или десятичное число: 1% = 0,01, поэтому p% от числа a равны a · p : 100. Например, 20% от 350: 350 · 20 : 100 = 70.
Как проверить, что ответ практической задачи разумен?
Сравните результат с исходными числами и представьте ситуацию в действительности. Проверьте единицы измерения, знак и порядок величины: скидка не может сделать цену больше, а расстояние за большее время при той же скорости не должно уменьшиться.
Математика вокруг нас
