"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Спортивную площадку на плане обычно изображают прямоугольником, для которого известны длина и ширина. По этим данным можно узнать длину ограждения — периметр, площадь покрытия и реальные размеры площадки по масштабу. Главное — понять, что именно требуется найти, выбрать правильную формулу, не смешивать единицы измерения и записывать длину в метрах, а площадь — в квадратных единицах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Спортивная площадка — прямоугольная фигура на плане. В условии обычно задают её длину и ширину, например a = 28 м и b = 15 м. Эти размеры нужны, чтобы вычислить ограждение, площадь покрытия или восстановить реальные размеры по плану.
Периметр прямоугольника — сумма длин всех его сторон: P = a + b + a + b = 2 · (a + b). Он показывает длину границы площадки, поэтому именно периметр нужен для расчёта ограждения. Результат записывают в метрах, сантиметрах или других единицах длины.
Площадь прямоугольника — число единичных квадратов, которыми можно покрыть его поверхность. Для прямоугольника S = a · b, потому что в каждом ряду помещается a квадратов, а рядов получается b. Квадратные единицы показывают, что измеряется не линия, а целая поверхность.
Масштаб — отношение длины на плане к соответствующей длине на местности. Запись 1:400 означает: 1 см на плане соответствует 400 см в действительности. Масштаб позволяет перейти от изображения к настоящим размерам, если одинаково обработать каждую сторону.
Сначала прочитайте условие и выпишите все известные данные: длину, ширину, масштаб или периметр. Затем подчеркните вопрос задачи, потому что слова «ограждение», «граница» и «забор» указывают на периметр, а «покрытие», «поверхность» и «площадь» — на площадь. Такой разбор помогает не подставить числа в неподходящую формулу.
Для ограждения нужна длина линии, окружающей площадку, а не размер поверхности внутри неё. У прямоугольника две стороны имеют длину a и две — длину b, поэтому складывают 2a и 2b: P = 2 · (a + b). Если сложить только a и b, получится лишь половина полного обхода площадки.
Площадь находят умножением длины на ширину, потому что прямоугольник можно мысленно разбить на одинаковые квадратные клетки. Число клеток в одном ряду умножается на число рядов. При этом две длины перемножаются, поэтому единица тоже становится квадратной: м · м = м².
Чтобы перейти от плана к местности, при масштабе 1:n размер на плане умножают на n. Это действие выполняют отдельно для длины и ширины, иначе форма площадки исказится. После умножения единицы приводят к удобному виду, например сантиметры переводят в метры делением на 100.
Ответ проверяют не только повторным вычислением, но и смыслом. Периметр должен быть длиной границы и иметь линейную единицу, а площадь — описывать поверхность и иметь квадратную единицу. Если размеры на плане увеличились в 400 раз, реальные стороны должны быть во столько же раз больше, а не только одна из них.
| Что требуется найти | Данные | Способ вычисления | Единицы результата |
|---|---|---|---|
| Длина ограждения | Длина a, ширина b | P = 2 · (a + b) | м, см |
| Площадь покрытия | Длина a, ширина b | S = a · b | м², см² |
| Неизвестная сторона по периметру | P и сторона a | b = P : 2 − a | м, см |
| Неизвестная сторона по площади | S и сторона a | b = S : a | м, см |
| Реальный размер по плану и масштабу | Размер на плане l, масштаб 1:n | L = l · n, затем перевод единиц | м, см |
Сначала определите, что означает искомая величина в условии, а затем выберите строку таблицы. Следите, чтобы исходные длины были выражены в одинаковых единицах. После вычисления обязательно запишите единицу результата.
Площадка имеет длину 28 м и ширину 15 м. Ограждают весь её край, значит, нужно найти не площадь, а периметр. Обозначим длину ограждения через P.
Ответ: потребуется 86 м ограждения. Единица измерения — метр, поскольку речь идёт о длине границы.
Длина площадки равна 24 м, ширина — 12 м. Покрытие закрывает всю внутреннюю поверхность, поэтому требуется площадь прямоугольника. Обозначим её через S.
Ответ: площадь покрытия равна 288 м². Это означает, что поверхность можно представить как 288 квадратов размером 1 м на 1 м.
На плане стороны площадки равны 6 см и 3 см, масштаб — 1:400. Значит, каждому сантиметру на плане соответствуют 400 см в действительности. Сначала найдём реальные стороны, а затем площадь в квадратных метрах.
Ответ: реальные размеры площадки — 24 м и 12 м, её площадь — 288 м². Масштаб применён к обеим сторонам, поэтому прямоугольник сохранил свои пропорции.
Складывают длину и ширину вместо полного периметра. Так поступают, когда забывают о двух сторонах каждого размера. Проверьте себя: в записи периметра должны присутствовать 2a и 2b либо умножение суммы a + b на 2.
Путают периметр и площадь. Ограждение проходит по краю, а покрытие занимает внутреннюю поверхность, поэтому это разные величины. Если ответ получен в метрах для покрытия или в квадратных метрах для забора, выбран не тот способ.
Записывают площадь в обычных метрах. При умножении длины на ширину перемножаются две единицы длины. Напомните себе равенство м · м = м² и поставьте у единицы показатель 2.
Неверно применяют масштаб. Иногда масштаб используют только для одной стороны или считают, что 2400 см равны 24 см. Обработайте каждую сторону отдельно, а затем переведите сантиметры в метры: 100 см = 1 м.
До этой темы нужно уметь выполнять действия с натуральными числами и переводить единицы длины. Без этих навыков легко ошибиться при умножении или оставить ответ в неудобных единицах. Особенно часто это проявляется при переходе от сантиметров к метрам.
Задачи опираются на знания о прямоугольнике, его периметре и площади. Эти формулы нужны не только на уроках, но и при расчёте краски, плитки, покрытия или строительных материалов. Практическая ситуация помогает понять, какую величину следует находить.
Масштаб связывает математику с чтением карт, чертежей и схем. По такому же принципу определяют расстояния на карте или размеры детали по техническому плану. Главное — сохранять единицы и применять масштаб ко всем соответствующим размерам.
Как понять, нужно ли в задаче находить периметр или площадь?
Если спрашивают, сколько нужно ограждения, сетки по краю или какова длина границы, находят периметр. Если требуется узнать площадь покрытия, газона или поверхности площадки, находят площадь.
Почему площадь записывают в квадратных метрах?
Площадь показывает, сколько квадратов со стороной 1 м укладывается на поверхности. Поэтому при умножении метров на метры получают квадратные метры: м · м = м².
Как найти неизвестную сторону прямоугольной площадки?
Если известен периметр P и одна сторона a, то вторая сторона b = P : 2 − a. Если известна площадь S и сторона a, то b = S : a.
Как использовать масштаб, если размеры на плане даны в сантиметрах?
При масштабе 1:n каждую длину на плане умножают на n и получают длину в тех же единицах, что указаны для масштаба. Затем сантиметры переводят в метры или другие нужные единицы.
Как проверить, что полученный размер площадки реалистичен?
Сравните длину и ширину с условием и проверьте единицы измерения. Площадь должна быть больше каждой стороны, если стороны выражены в одинаковых единицах, а периметр — больше удвоенной большей стороны.
На спортивной площадке
