Умножение и деление чисел на 6, на 7, на 8, на 9

Определения и обозначения

Умножение на 6 — это увеличение числа в 6 раз и нахождение произведения, одним из множителей которого является 6. Например, 4 · 6 означает взять число 4 шесть раз. Это помогает заменить длинное сложение короткой записью.

Умножение на 7 — увеличение числа в 7 раз и нахождение произведения с множителем 7. Запись 5 · 7 означает семь одинаковых слагаемых по 5. Такое действие нужно, чтобы быстро считать равные группы предметов.

Умножение на 8 — увеличение числа в 8 раз и получение произведения с множителем 8. Например, 3 · 8 — это восемь троек, то есть 24. Знание этих результатов ускоряет вычисления и решение задач.

Умножение на 9 означает взять число девять раз, а деление на 6, 7, 8 или 9 связано с обратным действием умножения. В равенстве 6 · 7 = 42 числа 6 и 7 — множители, а 42 — произведение. Из него можно получить два частных: 42 : 6 = 7 и 42 : 7 = 6.

Как это устроено

Умножение на 6, 7, 8 или 9 можно получить сложением одинаковых слагаемых. Например, 4 · 6 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24. Но многократное сложение неудобно, поэтому сначала используют уже известные результаты таблицы и переместительное свойство: 6 · 7 = 7 · 6.

Умножение на 6 удобно представить как умножение на 5 и прибавление ещё одного такого числа: a · 6 = a · 5 + a. Так, 7 · 6 = 7 · 5 + 7 = 35 + 7 = 42. Умножение на 7 можно разложить на умножение на 5 и на 2: a · 7 = a · 5 + a · 2, поэтому 6 · 7 = 30 + 12 = 42.

Число 8 получается последовательным удвоением: 8 = 2 · 2 · 2. Поэтому 7 · 8 можно вычислить так: 7 · 2 = 14, 14 · 2 = 28, 28 · 2 = 56. Этот способ удобен, когда результат умножения на 8 ещё не запомнился.

Число 9 на единицу меньше 10, поэтому умножение на 9 заменяют умножением на 10 и вычитанием исходного числа: a · 9 = a · 10 − a. Например, 8 · 9 = 80 − 8 = 72. Деление связано с тем же произведением: чтобы найти 42 : 6, нужно вспомнить, какое число при умножении на 6 даёт 42.

Каждое произведение образует группу взаимосвязанных равенств. Из 6 · 7 = 42 получаются 7 · 6 = 42, 42 : 6 = 7 и 42 : 7 = 6. Поэтому при проверке деления частное умножают на делитель и сравнивают результат с делимым.

Умножение и деление на 6, 7, 8 и 9

Чтобы найти частное, ищите в строке нужный результат умножения. Например, в строке 8 число 56 соответствует множителю 7, значит, 56 : 8 = 7. Проверка выполняется умножением найденного частного на делитель.

Таблица также помогает выполнять выражения с несколькими действиями. Сначала находят произведения и частные, а затем выполняют сложение или вычитание.

Разбор задач

Задача 1

Вычислим 6 · 7 и 42 : 6. В первом выражении нужно найти произведение, а во втором — частное по известному произведению. Оба примера связаны одним равенством.

1. По таблице умножения находим: 6 · 7 = 42.
2. Используем это произведение: 42 : 6 = 7.
3. Проверяем деление: 7 · 6 = 42, значит, частное найдено верно.

Ответ: 6 · 7 = 42; 42 : 6 = 7.

Задача 2

Вычислим удобным способом 8 · 7 и 63 : 7. Для умножения воспользуемся последовательным удвоением, потому что 8 = 2 · 2 · 2. Для деления найдём в таблице число, которое при умножении на 7 даёт 63.

1. Удваиваем 7 три раза: 7 · 2 = 14, 14 · 2 = 28, 28 · 2 = 56.
2. Значит, 8 · 7 = 56.
3. В таблице видим 7 · 9 = 63, поэтому 63 : 7 = 9.
4. Проверяем: 9 · 7 = 63.

Ответ: 8 · 7 = 56; 63 : 7 = 9.

Задача 3

В 8 коробках лежит по 9 карандашей, затем все карандаши поровну разложили в 6 наборов. Сначала нужно узнать общее количество карандашей, ведь делить можно только известное целое количество. Затем общее число разделим на количество наборов.

1. Находим число карандашей во всех коробках: 8 · 9 = 72.
2. Делим их поровну на 6 наборов: 72 : 6 = 12.
3. Проверяем: 12 · 6 = 72, значит, деление выполнено правильно.

Ответ: в каждом наборе 12 карандашей.

Типичные ошибки

Результаты умножения на 6, 7, 8 и 9 путают из-за близости самих чисел. Такая ошибка возникает, если не проговаривать множители и отвечать наугад. Сверьте пример с таблицей или проверьте результат обратным действием.

При делении иногда меняют местами делимое и делитель. Нужно сначала определить, какое число разделяют, а затем — на сколько равных частей его делят. В записи 48 : 6 число 48 является делимым, а 6 — делителем.

Не каждое число делится на выбранный делитель без остатка. Перед вычислением проверьте, есть ли нужный результат в таблице умножения. Например, 43 нельзя разделить на 6 нацело, потому что ни один табличный результат для 6 не равен 43.

В длинных выражениях ошибаются, если выполняют действия слева направо без правил. Сначала считают умножение и деление, затем сложение и вычитание. Например, в выражении 5 + 6 · 7 сначала находят 6 · 7, а потом прибавляют 5.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно понимать смысл умножения и деления, знать названия компонентов действий и пользоваться переместительным свойством умножения. Также пригодятся результаты умножения на 2, 3, 4 и 5, поскольку через них можно удобно получить новые случаи.

Умножение и деление на 6, 7, 8 и 9 используются в текстовых задачах и выражениях с несколькими действиями. Эти навыки станут основой для письменного умножения и деления многозначных чисел.

Что запомнить

• Умножение на 6, 7, 8 и 9 означает взять число соответственно 6, 7, 8 или 9 раз.
• Если a · b = c, то c : a = b и c : b = a.
• Умножение на 8 можно выполнить последовательным удвоением.
• Умножение на 9 удобно заменить умножением на 10 и вычитанием исходного числа.
• Результат деления проверяют умножением.
• В выражениях сначала выполняют умножение и деление, затем сложение и вычитание.