Число и цифра 0

Определения и обозначения

Число ноль обозначает отсутствие предметов или величины. Оно стоит перед единицей в ряду целых неотрицательных чисел: 0, 1, 2, 3 и так далее. Например, если в коробке не осталось яблок, их количество равно нулю. Это число нужно, чтобы точно сообщить, сколько предметов есть, даже когда их нет.

Цифра ноль — знак 0, которым записывают число ноль. Кроме того, в записи многозначного числа эта цифра указывает, что в соответствующем разряде нет единиц. Например, в числе 205 ноль показывает отсутствие десятков. Благодаря ему сохраняется место каждого разряда, и число можно прочитать правильно.

Начало отсчёта — точка координатного луча, которой соответствует число 0. Луч проводят от этой точки, а затем откладывают вправо равные единичные отрезки: ближайшая отметка соответствует 1, следующая — 2 и так далее. Так ноль задаёт начало, от которого определяют положение остальных чисел. Он помогает сравнивать числа по их расположению на луче.

Как это устроено

Если предметов нет, их количество всё равно можно назвать: это ноль. Поэтому отсутствие предметов не означает отсутствие числа — число как раз сообщает, сколько предметов имеется, и ответом может быть 0. Например, запись «0 книг» отличается от пустого места в списке: она явно говорит, что книг нет. Такое обозначение позволяет считать и сравнивать количества даже в случае отсутствия предметов.

В десятичной записи положение цифры определяет её разряд: единицы, десятки, сотни и другие. В числе 205 цифра 2 означает две сотни, 0 — отсутствие десятков, а 5 — пять единиц. Если убрать ноль, оставшиеся цифры сдвинутся по разрядам и получится 25, а не 205. Значит, ноль здесь не добавляет десятков, но сохраняет правильное место сотен и единиц.

На координатном луче 0 отмечают в начале, а единичные отрезки откладывают от него вправо. Так каждой точке после начала соответствует положительное число: сначала 1, затем 2 и далее. Чем правее находится точка, тем больше соответствующее ей число. Поэтому 0 меньше любого положительного числа, например 0 < 3 < 7.

Прибавить ноль — значит добавить количество, в котором нет единиц, поэтому исходное количество не изменится: a + 0 = a. Вычитание нуля также не убирает ни одной единицы, и получается a − 0 = a. Если же вычесть из числа его самого, все его единицы будут убраны, поэтому a − a = 0. Эти правила объясняют, почему ноль в сложении и вычитании ведёт себя по-разному в зависимости от действия.

Умножение на ноль даёт ноль: например, 4 · 0 означает, что взято ноль групп по четыре, то есть предметов не взято. Деление нуля на ненулевое число возможно: если 0 предметов распределить поровну между четырьмя участниками, каждый получит 0. При делении на ноль делителя нет, и смысл такого распределения теряется. Проверка умножением также показывает проблему: нельзя получить ненулевое делимое, умножая какое-либо число на ноль, а для 0 : 0 подходит любое число, поэтому единственного ответа нет.

Ноль в записи чисел и действиях

В таблице собраны ситуации, в которых ноль встречается при записи числа и выполнении действий. Сначала найдите нужное действие в первом столбце, затем прочитайте правило и проверьте его на примере. Для деления обратите внимание на условие: делитель должен быть ненулевым.

Разбор задач

Задача 1. Запиши цифрами число: 407.

Нужно понять, сколько в числе сотен, десятков и единиц, а затем поставить цифру в каждый разряд. Слово «четыреста» задаёт сотни, «семь» — единицы, а десятков нет. Для пустого разряда требуется ноль, чтобы две другие цифры остались на своих местах.

1. Определяем число сотен: их 4, значит, первая цифра — 4.
2. Десятков нет, поэтому в разряд десятков записываем 0.
3. Единиц 7, значит, последняя цифра — 7; соединяем разряды в записи 407.

Ответ: 407.

Задача 2. Вычисли: 58 + 0, 58 − 0, 58 − 58, 58 · 0.

В каждом выражении ноль участвует в отдельном действии, поэтому нельзя переносить правило одного действия на другое. Прибавление и вычитание нуля не меняют число; вычитание числа из самого себя убирает все его единицы. Умножение на ноль, напротив, даёт ноль, потому что групп нулевое количество.

1. Прибавляем ноль: 58 + 0 = 58.
2. Вычитаем ноль: 58 − 0 = 58.
3. Вычитаем число из самого себя: 58 − 58 = 0.
4. Умножаем на ноль: 58 · 0 = 0.

Ответ: 58; 58; 0; 0.

Задача 3. На координатном луче отметь числа 0, 3 и 7. Сравни их и реши, можно ли вычислить 0 : 4 и 4 : 0.

Начинаем с точки 0 и откладываем равные единичные отрезки вправо. Число 3 отмечаем на третьем отрезке от начала, а 7 — на седьмом; более далёкая от начала точка соответствует большему числу. Для деления проверяем, не равен ли делитель нулю: во втором выражении он равен нулю, поэтому вычисление запрещено.

1. Отмечаем начало луча и подписываем его числом 0.
2. Откладываем три единичных отрезка и ставим 3, затем семь и ставим 7.
3. Сравниваем положение точек: 0 < 3 < 7.
4. Вычисляем 0 : 4 = 0, так как делитель 4 не равен нулю.
5. Выражение 4 : 0 вычислить нельзя: деление на ноль не определено.

Ответ: 0 < 3 < 7; 0 : 4 = 0; 4 : 0 вычислить нельзя.

Типичные ошибки

Путать число ноль и цифру 0. Это разные понятия: число обозначает количество, а цифра является знаком для его записи. Ошибка возникает потому, что в речи их часто называют одинаково. Проверьте себя: можно сказать «число ноль записано цифрой 0» — в этой фразе видна разница.

Убирать ноль из середины числа. Если записать 205 как 25, изменятся разряды: вместо двух сотен получится два десятка. Ноль здесь не лишний, а показывает отсутствие десятков и сохраняет место соседних цифр. Чтобы проверить запись, назовите разряд каждой цифры: 2 сотни, 0 десятков, 5 единиц.

Считать, что умножение на ноль оставляет число прежним. Так ошибаются, перенося на умножение правило сложения с нулём. Но a + 0 = a, а a · 0 = 0: это разные действия и разные правила. Проверьте ответ на примере 58 · 0: если групп по 58 взято ноль, результат равен 0.

Делить на ноль или считать, что 0 : 0 = 0. Здесь забывают проверить смысл частного и условие делителя. При делении делитель не может быть нулём: иначе проверка умножением не определит единственный ответ. Например, произведение любого числа на 0 равно 0, поэтому для 0 : 0 нельзя выбрать одно определённое частное; выражение не имеет значения.

Связь с другими темами

До изучения нуля нужно уметь записывать числа цифрами, понимать разряды и знать смысл арифметических действий. Роль нуля пригодится при чтении и записи многозначных чисел, сравнении чисел и работе с координатным лучом. Свойства нуля помогают упрощать выражения и решать уравнения, где неизвестное число связано со сложением, вычитанием или умножением. Например, правило a + 0 = a позволяет сразу убрать прибавление нуля.

Что запомнить

• Ноль — число, а 0 — его цифра.
• В записи числа ноль может обозначать отсутствие единиц разряда.
• При прибавлении или вычитании нуля число не меняется.
• Число минус само это число равно нулю.
• Произведение любого числа на ноль равно нулю.
• Ноль можно разделить на ненулевое число: частное равно нулю.
• На ноль делить нельзя.