Пирамида. Цилиндр. Конус

Определения и обозначения

Пирамида — многогранник, у которого основание является многоугольником, а боковые грани — треугольники с общей вершиной. Эту общую точку называют вершиной пирамиды, стороны основания и боковых граней — рёбрами, а многоугольник внизу — основанием. Такое описание помогает определить, какие части тела нужно учитывать в задачах.

Цилиндр — тело, ограниченное двумя равными кругами в параллельных плоскостях и соединяющей их боковой поверхностью. Круги называют основаниями, а прямую, проходящую через их центры, — осью цилиндра. Эти слова нужны, чтобы точно указывать расположение и размеры частей тела.

Конус — тело с круглым основанием и боковой поверхностью, сходящейся в одной точке. Эту точку называют вершиной конуса, круг — основанием, а перпендикуляр от вершины к плоскости основания — высотой. Высота показывает расстояние от вершины до основания и отличается от отрезка, идущего по наклонной боковой поверхности.

Как это устроено

Пирамиду можно построить так: выбрать многоугольник и точку вне плоскости, в которой он лежит, а затем соединить эту точку со всеми вершинами многоугольника. Каждый отрезок вместе с одной стороной основания образует треугольную боковую грань. Поэтому грани сходятся в одной вершине, а число таких граней определяется числом сторон основания.

Название пирамиды зависит от того, какой многоугольник лежит в основании. Если основание — треугольник, говорят о треугольной пирамиде, если четырёхугольник — о четырёхугольной. Это удобно: название сразу сообщает, сколько сторон у основания и сколько боковых треугольников нужно ожидать.

Цилиндр можно представить как тело, которое получается при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон. Эта сторона задаёт ось вращения, а противоположная ей сторона описывает круг; расстояние между кругами равно длине стороны-оси. Два круга на концах прямоугольника становятся равными основаниями, потому что их радиусы одинаковы.

Если прямоугольный треугольник вращать вокруг одного из катетов, получится конус. Катет, вокруг которого происходит вращение, задаёт высоту, а второй катет при движении описывает круг и становится радиусом основания. Наклонная сторона треугольника при этом образует боковую поверхность конуса.

Сравнивая тела, сначала смотрят на основание, а затем — на боковую часть. У пирамиды основание многоугольное, и боковая поверхность составлена из плоских треугольников. У цилиндра и конуса основания круглые, а боковая поверхность криволинейная, поэтому эти тела не относятся к многогранникам.

Сравнение пирамиды, цилиндра и конуса

Пользуйся таблицей, когда нужно классифицировать тело: найди форму основания и проверь устройство боковой поверхности. Если оснований два и они круглые, это цилиндр; если одно круглое и есть вершина — конус. У пирамиды основание многоугольное, а боковые грани плоские.

Разбор задач

Задача 1. На рисунках изображены несколько тел. Определите, какие из них являются пирамидами, цилиндрами и конусами, и назовите их основания. Рисунков перед нами нет, поэтому разберём порядок действий, который применяют к каждому изображённому телу. Главное — не судить только по внешнему силуэту, а проверить основание и боковую поверхность.

1. Найди нижнюю или одну из торцевых частей тела и определи её форму: многоугольник или круг.
2. Если основание многоугольное, проверь, сходятся ли треугольные боковые грани в одной точке. Если да, это пирамида, а основание называют по найденному многоугольнику.
3. Если основания круглые и их два, а боковая поверхность соединяет их, это цилиндр. Если круг один, а боковая поверхность сужается к отдельной вершине, это конус.
4. Назови основание точно: например, треугольное или пятиугольное у пирамиды, круглое у цилиндра и конуса.

Ответ. Пирамида имеет многоугольное основание, цилиндр — два круглых основания, конус — одно круглое основание и вершину. Чтобы назвать основания конкретных тел, нужно применить эти признаки к каждому изображению.

Задача 2. У пирамиды основание — пятиугольник. Определите число боковых граней, боковых рёбер и вершин. Не нужно пересчитывать элементы на рисунке: достаточно установить связь между сторонами основания и боковыми частями пирамиды.

1. У пятиугольника пять сторон и пять вершин.
2. Каждой стороне основания соответствует одна боковая грань, значит, боковых граней пять.
3. Каждую вершину основания соединяют с общей вершиной пирамиды отдельным боковым ребром, поэтому боковых рёбер тоже пять.
4. К пяти вершинам основания добавляется одна вершина пирамиды: всего 5 + 1 = 6 вершин.

Ответ. Пять боковых граней, пять боковых рёбер и шесть вершин. Проверка: вершина основания соединена с общей вершиной одним боковым ребром, а сторона основания входит в одну боковую грань.

Задача 3. Прямоугольник со сторонами 4 см и 7 см вращают сначала вокруг одной, затем вокруг другой стороны. Определите радиус и высоту каждого полученного цилиндра. При вращении сторона-ось задаёт высоту, а расстояние до противоположной стороны становится радиусом круга.

1. Если прямоугольник вращают вокруг стороны 4 см, эта сторона служит осью и становится высотой цилиндра: h = 4 см.
2. Вторая сторона длиной 7 см отстоит от оси на 7 см и описывает круг, поэтому радиус основания r = 7 см.
3. При вращении вокруг стороны 7 см высота равна 7 см, а другая сторона, 4 см, задаёт радиус основания.
4. Сверь результат с рисунком в воображении: при каждом вращении радиусом становится сторона, перпендикулярная оси.

Ответ. При вращении вокруг стороны 4 см получаются h = 4 см и r = 7 см. При вращении вокруг стороны 7 см получаются h = 7 см и r = 4 см.

Типичные ошибки

Не путай вершину пирамиды с вершинами основания. Вершина пирамиды находится вне плоскости основания, а вершины основания лежат на его многоугольнике; путаница возникает из-за одинакового названия. Проверь себя: у основания есть стороны и несколько вершин, а у пирамиды есть ещё одна общая вершина, к которой сходятся боковые грани.

Иногда считают, что боковых граней на одну меньше, чем сторон основания. Это неверно: каждая сторона вместе с общей вершиной пирамиды образует отдельный боковой треугольник. Чтобы проверить число граней, сопоставь каждой стороне основания ровно одну грань; у пятиугольного основания их будет пять.

Боковую поверхность цилиндра нельзя называть плоской гранью. Грань — плоская часть многогранника, а поверхность цилиндра искривлена и соединяет два круглых основания. Если сомневаешься, проверь, можно ли представить эту часть плоским многоугольником: у цилиндра это не получится.

Радиус основания конуса — не то же самое, что высота или образующая. Радиус идёт от центра основания к окружности, высота — от вершины перпендикулярно к основанию, а образующая соединяет вершину с точкой окружности по боковой поверхности. Сверяй концы отрезка и его направление: так легче определить, какой элемент изображён.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в этих телах, нужны знания о многоугольниках, круге и окружности, а также о параллельных плоскостях. Понятия вершины, ребра и грани помогают описывать пирамиду и отличать её части друг от друга. Позже многогранники и тела вращения понадобятся при изучении развёрток, площадей поверхностей и объёмов геометрических тел.

Что запомнить

• У пирамиды одно многоугольное основание.
• Число боковых граней пирамиды равно числу сторон её основания.
• Боковые грани пирамиды — треугольники с общей вершиной.
• У цилиндра два равных круглых основания в параллельных плоскостях.
• У конуса одно круглое основание и одна вершина.
• Цилиндр и конус имеют криволинейную боковую поверхность.