Куб. Шар. Квадрат. Круг

Определения и обозначения

Куб — пространственная фигура, поверхность которой состоит из шести равных квадратов. Эти квадраты называют гранями, их общие стороны — рёбрами, а точки встречи рёбер — вершинами. По этим элементам удобно описывать устройство куба и отличать его от других объёмных тел.

Шар — часть пространства, состоящая из точек, удалённых от заданного центра не больше чем на определённое расстояние. Это расстояние называют радиусом шара. Его поверхность называется сферой: так можно отдельно говорить о всей объёмной фигуре и только о её границе.

Квадрат — четырёхугольник, у которого все стороны равны, а все углы прямые. Значит, для распознавания квадрата нужно проверить одновременно длины сторон и величины углов. Это определение помогает не спутать его с фигурами, у которых выполнено лишь одно из этих условий.

Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью. Окружность — только линия-граница, а круг включает и эту линию, и область внутри неё. Различие нужно, чтобы точно указывать, рассматриваем ли мы контур или всю плоскую фигуру.

Как это устроено

Каждая грань куба — квадрат, а соседние грани имеют общее ребро. У куба шесть граней, и каждое ребро соединяет две грани; всего таких рёбер двенадцать. На концах рёбер находятся восемь вершин, где сходятся по три ребра. Эти элементы образуют замкнутое пространственное тело, поэтому куб нельзя считать просто набором квадратов.

Шар задают центром и радиусом: центр определяет, откуда измерять расстояние, а радиус задаёт его предельную величину. Точки на расстоянии, равном радиусу, составляют сферу; точки на меньшем расстоянии находятся внутри шара. Точки, удалённые от центра больше радиуса, в шар не входят. Такое описание позволяет определить принадлежность точки, даже если шар не изображён.

У квадрата одновременно есть признаки прямоугольника и ромба. Прямоугольником называют четырёхугольник с четырьмя прямыми углами, а ромбом — четырёхугольник с равными сторонами. У квадрата выполнены оба условия, поэтому он относится к обоим видам фигур. При этом обратное неверно: у прямоугольника не обязательно равны все стороны, а у ромба углы не обязательно прямые.

Окружность задают центром и радиусом: каждая её точка находится от центра на одном и том же расстоянии. Круг образуют точки, расстояние от которых до центра не превышает радиус. Поэтому точка на расстоянии, равном радиусу, лежит на окружности и принадлежит кругу, а точка на меньшем расстоянии находится внутри круга. Если расстояние больше радиуса, точка не принадлежит ни окружности, ни кругу.

Квадрат и круг — плоские фигуры: для их расположения достаточно плоскости. Куб и шар — пространственные, потому что занимают часть пространства и имеют объём. На рисунке пространственное тело показывают на листе, но от этого оно не становится плоским. Проверяй, что именно описывается: плоская область или тело с объёмом.

Сравнение куба, шара, квадрата и круга

Сначала смотри, плоская фигура перед тобой или пространственная, затем проверяй её основные элементы. Признак в последнем столбце помогает различить фигуры одного типа и не смешивать тело с его поверхностью.

Разбор задач

1. Разделить фигуры на плоские и пространственные

Условие. На рисунке изображены куб, квадрат, шар и круг. Нужно разделить их на плоские и пространственные фигуры. Сравним не вид рисунка, а то, какую часть плоскости или пространства занимает каждая фигура.

1. Квадрат и круг лежат на плоскости, поэтому относим их к плоским фигурам.
2. Куб и шар занимают часть пространства, поэтому относим их к пространственным телам.
3. Помним, что изображение куба и шара на листе не меняет свойств самих тел.

Ответ: плоские — квадрат и круг; пространственные — куб и шар.

2. Найти элементы куба и площадь грани

Условие. Длина ребра куба равна 3 см. Требуется назвать количество граней, рёбер и вершин, а также найти площадь одной грани. Каждая грань куба — квадрат со стороной, равной ребру.

1. По устройству куба определяем, что у него 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
2. Для площади квадратной грани умножаем длину стороны на саму себя: 3 × 3 = 9.
3. Указываем квадратные сантиметры, потому что площадь измеряется в квадратных единицах.

Ответ: 6 граней, 12 рёбер, 8 вершин; площадь одной грани — 9 см².

3. Определить принадлежность точек кругу и окружности

Условие. На плоскости отмечены центр O и радиус 4 см. Нужно описать, какие точки принадлежат окружности, а какие — кругу. Для каждой точки сравним расстояние до O с радиусом 4 см.

1. Если расстояние до O равно 4 см, точка лежит на окружности и одновременно принадлежит кругу.
2. Если расстояние меньше 4 см, точка находится внутри круга, но не на окружности.
3. Если расстояние больше 4 см, точка лежит снаружи и не принадлежит ни кругу, ни окружности.

Ответ: окружность образуют точки на расстоянии 4 см от O; круг включает их и все точки на расстоянии меньше 4 см.

Типичные ошибки

Куб иногда считают плоской фигурой, потому что его изображают на листе и на рисунке видны грани. Но плоским является изображение, а сам куб занимает пространство и имеет объём. Проверь себя: если фигура имеет объём, она пространственная, даже когда нарисована на бумаге.

Шар и сферу путают, потому что оба понятия связаны с одной границей. Шар включает внутреннюю часть, а сфера является только поверхностью; это различие похоже на разницу между телом и его оболочкой. Проверь, говорится ли обо всех точках внутри или только о точках границы.

Круг называют окружностью, когда не различают область и её контур. Окружность — линия-граница, круг — вся область вместе с границей. Чтобы проверить ответ, спроси себя, включены ли в рассматриваемую фигуру точки внутри контура.

Квадратом ошибочно считают любой четырёхугольник с равными сторонами или только с прямыми углами. В первом случае может не хватать прямых углов, во втором — равенства сторон. Проверь оба условия: у квадрата должны быть и четыре равные стороны, и четыре прямых угла.

Связь с другими темами

Для изучения этих фигур пригодятся понятия точки, отрезка, угла, прямоугольника и окружности, а также умение измерять длину. Равные стороны и расстояния до центра позволяют описывать фигуры точнее, чем по одному внешнему виду. Позже представления о кубе и шаре помогут изучать объёмные тела и их характеристики. Квадрат и круг встретятся при изучении многоугольников, окружности и площади.

Что запомнить

• Куб имеет шесть равных квадратных граней.
• У куба 12 рёбер и 8 вершин.
• Шар — пространственное тело, а сфера — его поверхность.
• Квадрат имеет четыре равные стороны и четыре прямых угла.
• Окружность — граница круга.
• Круг включает точки внутри окружности и точки самой окружности.