"Математика (в 2 частях)", Минаева С.С., Рослова Л.О., Рыдзе О.А. и др. / Под ред. Булычёва В.А.
Направление показывает, куда движется тело или где расположена точка относительно выбранной линии и начала отсчёта. Оно помогает отличать одинаковые по длине движения в разные стороны и правильно описывать положение на координатной прямой. Одно из двух направлений выбирают положительным, а противоположное — отрицательным. Выбор условен, но его нужно сохранять во всём решении: тогда знаки координат и перемещений будут согласованы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Направление — характеристика движения или расположения, которая показывает, куда происходит движение или где находится объект относительно выбранной линии. Например, можно указать, что человек идёт к школе, а точка расположена справа от начала отсчёта. Это понятие нужно, чтобы отличать движение в одну сторону от движения в другую, даже если пройденные расстояния равны.
Противоположные направления — направления вдоль одной линии, при которых движение происходит в разные стороны. Таковы, например, движение вверх и вниз по вертикальной прямой или вправо и влево по горизонтальной. Понятие помогает описывать движение по прямой и выбирать, какое из двух направлений считать положительным.
Координатная прямая — прямая с началом отсчёта, единичным отрезком и выбранным положительным направлением. Начало отсчёта обозначают числом 0, а единичный отрезок задаёт масштаб, по которому отмечают числа. Такая прямая позволяет каждому числу сопоставить положение точки и сравнивать расположение разных точек.
Положительное и отрицательное направления — два противоположных направления на координатной прямой, одно из которых выбрано положительным. Направление, выбранное положительным, соответствует движению в сторону увеличения координат, а противоположное — в сторону их уменьшения. Это соглашение нужно для записи координат и перемещений со знаками.
Чтобы описать движение, недостаточно назвать его длину или величину: важно также указать, в какую сторону оно происходит. Например, путь длиной 3 км может вести на восток или на запад, и эти движения приведут в разные места. Поэтому для полного описания движения указывают и величину, и направление.
На прямой можно двигаться только в одну из двух сторон, поэтому одно направление удобно назначить положительным, а противоположное считать отрицательным. Это позволяет записывать движения в разных сторонах с помощью чисел со знаками. Например, если вправо принято считать положительным, то движение вправо записывают со знаком «плюс», а влево — со знаком «минус».
Выбор положительного направления условен: для одной задачи удобно считать положительным движение вправо, для другой — влево. Сам выбор не меняет реальное расположение точек или движение, а лишь задаёт правило записи. После выбора нужно пользоваться им во всех вычислениях, иначе одинаковые движения получат несовместимые знаки.
На координатной прямой справа от начала отсчёта располагаются положительные числа, а слева — отрицательные. Это связано с тем, что при движении в положительном направлении координаты увеличиваются, а при движении в противоположном — уменьшаются. Значит, знак координаты сообщает, по какую сторону от нуля находится точка, а не то, куда она движется в данный момент.
При движении вдоль прямой смена направления меняет знак перемещения, но не пройденное расстояние. Перемещение описывает, насколько и в какую сторону изменилось положение, поэтому его можно записать положительным или отрицательным числом. Расстояние складывает длины участков пути без учёта направления и потому всегда неотрицательно.
| Ситуация | Направление | Знак координаты или перемещения | Как истолковать |
|---|---|---|---|
| Точка расположена справа от начала отсчёта | Положительное | Положительный знак | Координата больше нуля |
| Точка расположена слева от начала отсчёта | Отрицательное | Отрицательный знак | Координата меньше нуля |
| Движение происходит в выбранном положительном направлении | Положительное | Положительный знак перемещения | Координата увеличивается |
| Движение происходит в противоположном направлении | Отрицательное | Отрицательный знак перемещения | Координата уменьшается |
Сначала определите, какое направление выбрано положительным, а затем применяйте это правило к положению точки или движению. Координата говорит, где находится точка относительно нуля, а знак перемещения — в какую сторону она сместилась. Если точка находится в начале отсчёта, её координата равна нулю.
На координатной прямой отметьте точки с координатами −3 и 4 и укажите, по какую сторону от начала отсчёта расположена каждая. Для этого используем стандартное правило: положительное направление выбрано вправо, а противоположное ему — влево. Знак координаты показывает, в какую сторону от нуля нужно отложить расстояние, а число без знака задаёт его величину.
Проверка простая: отрицательные числа должны оказаться слева от нуля, положительные — справа. Значит, точка −3 расположена слева, а точка 4 — справа от начала отсчёта. Знак задаёт сторону, а модуль числа — расстояние от нуля в единичных отрезках.
Ответ: точка −3 расположена слева от начала отсчёта, точка 4 — справа.
Пешеход прошёл 5 км на восток, а затем 2 км на запад. Требуется найти расстояние и перемещение, считая восток положительным направлением. Эти величины нужно вычислять отдельно: расстояние учитывает оба участка пути, а перемещение — ещё и сторону движения.
После первого участка пешеход удалился от начальной точки на 5 км к востоку, а второй участок сократил это смещение на 2 км. Поэтому он оказался на 3 км восточнее места старта. Расстояние при этом включает весь путь туда и обратно, а не только разницу между участками.
Ответ: пройденное расстояние — 7 км, перемещение — 3 км на восток.
Лифт находился на этаже −2, поднялся на 7 этажей, а затем спустился на 4. Нужно определить его итоговое положение относительно первого этажа, координата которого равна 0. Подъём увеличивает координату, а спуск уменьшает её, поэтому движения получат разные знаки.
Значение 1 означает, что лифт находится на один этаж выше первого этажа. Проверим ход решения: сначала лифт поднялся с этажа −2 до этажа 5, затем опустился до этажа 1. Смена направления учтена сменой знака перемещения, а не изменением правила отсчёта.
Ответ: лифт находится на этаже 1, то есть на один этаж выше первого.
Считать, что положительное направление всегда направлено вправо или на восток, — ошибка: эти направления становятся положительными только по условию или после выбора. Так думают, потому что на обычной координатной прямой положительное направление принято показывать вправо. Проверьте себя: найдите, что именно выбрано положительным в задаче, и только потом назначайте знаки.
Складывать пройденные расстояния со знаками неправильно, потому что расстояние не зависит от направления и не бывает отрицательным. Ошибка возникает, когда расстояние путают с перемещением, для которого знаки действительно важны. Чтобы проверить вычисление, сложите длины всех участков отдельно и убедитесь, что итог не меньше нуля.
Координата точки и направление её движения — разные вещи: координата описывает положение, а перемещение — изменение положения. Их путают, потому что обе величины записываются числами со знаками. Проверьте себя вопросом: говорится о том, где объект находится, или о том, куда и насколько он сместился?
Менять положительное направление в середине решения нельзя: тогда знаки предыдущих и последующих величин перестают соответствовать одному правилу. Такую ошибку допускают, когда знак выбирают заново для каждого отдельного шага. Перед вычислением зафиксируйте выбранное направление и проверьте, что все знаки поставлены относительно него.
Для работы с направлением нужно уметь откладывать числа на координатной прямой и понимать, где расположены числа относительно нуля. Это помогает связать знак числа с положением точки: положительные числа находятся справа, отрицательные — слева. Такое представление станет основой для дальнейших вычислений с отрицательными числами.
Понятие направления понадобится при изучении перемещения, координат и задач на движение. Оно помогает задавать знаки величинам, которые описывают изменение положения. Если движение происходит в противоположные стороны, знаки позволяют учитывать это при вычислениях.
Почему направление можно выбрать произвольно?
На прямой есть два противоположных направления, и само по себе ни одно из них не является главным. Поэтому положительным можно назначить любое из них. Главное — не менять выбор по ходу решения.
Как понять, какое направление считать положительным?
Его выбирают по условию задачи или назначают самостоятельно, например, вправо, вверх или на восток. После выбора движение туда записывают со знаком «плюс», а в обратную сторону — со знаком «минус».
Чем расстояние отличается от перемещения?
Расстояние показывает длину всего пройденного пути и не зависит от направления, поэтому оно неотрицательно. Перемещение показывает изменение положения с учётом направления и может быть положительным, отрицательным или равным нулю.
Всегда ли движение вправо считается положительным?
Нет, направление вправо считается положительным только тогда, когда его так выбрали. Положительным можно назначить движение влево или в любую другую сторону, если затем последовательно использовать этот выбор.
Что происходит со знаком перемещения, если изменить выбранное направление?
Знак перемещения изменится на противоположный, потому что теперь то же движение будет описываться относительно другого положительного направления. Само движение и его длина при этом не изменятся.
Направление
