"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Двузначные числа состоят из десятков и единиц, поэтому при вычислениях их удобно разделять на разрядные слагаемые. Если сумма единиц меньше 10, а при вычитании единиц хватает, десятки и единицы можно обработать отдельно — это действия без перехода через десяток. Такой способ помогает считать устно, правильно записывать примеры столбиком и проверять вычисления обратным действием. Он также готовит к более сложным вычислениям с переходом через десяток.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Двузначное число — число, в записи которого две цифры: первая показывает число десятков, вторая — число единиц. Например, 36 состоит из трёх десятков и шести единиц. Это представление помогает не путать значение цифры с её внешним видом и выполнять вычисления по частям.
Разряд десятков и разряд единиц — места цифр в записи числа. Например, в числе 47 цифра 4 обозначает 4 десятка, а цифра 7 — 7 единиц. Понимание разрядов нужно, чтобы правильно складывать и вычитать соответствующие части чисел, а при записи столбиком располагать цифры одна под другой.
Сложение без перехода через десяток — сложение, при котором сумма единиц остаётся меньше 10 и число десятков не увеличивается. Например, при сложении 23 и 14 единицы дают 7, а не новый десяток. Это определение помогает понять, когда можно отдельно сложить десятки и единицы, не меняя их разрядов.
Вычитание без перехода через десяток — вычитание, при котором единиц уменьшают не больше, чем их есть в числе, и десяток не приходится заменять единицами. Например, из 8 единиц можно вычесть 5, не занимая десяток. Условие помогает заранее определить, подходит ли для примера простой раздельный способ вычисления.
Двузначное число можно представить как сумму десятков и единиц: например, 36 = 30 + 6. Число 30 сохраняет значение трёх десятков, а 6 — шести единиц. Такая запись показывает состав числа и позволяет отдельно рассматривать части, с которыми предстоит выполнить действие. Поэтому разложение удобно и для устного счёта, и для объяснения письменного решения.
При сложении двузначных чисел без перехода через десяток отдельно складывают десятки и единицы, потому что десятки объединяются с десятками, а единицы — с единицами. Например, в выражении 23 + 14 к 20 прибавляют 10, а к 3 — 4. Если сумма единиц меньше 10, она остаётся в разряде единиц и не образует дополнительный десяток. Полученные части затем складывают в одно число.
При записи сложения столбиком единицы ставят под единицами, а десятки — под десятками. Цифры в каждом вертикальном столбце тогда обозначают части одного разряда, поэтому их можно складывать, не смешивая десятки и единицы. Например, если число 14 записать со сдвигом, его единица окажется под десятками другого числа. Выравнивание помогает избежать такой ошибки и увидеть ход вычисления.
При вычитании без перехода через десяток десятки и единицы можно вычитать отдельно, потому что единиц уменьшаемого хватает для вычитания единиц вычитаемого. Например, из 58 можно вычесть 2 единицы, не изменяя число десятков. Отдельно вычитают десятки, затем единицы, сохраняя разряды. Если же единиц не хватает, этот способ без перехода уже не подходит: потребуется заменить один десяток десятью единицами.
Результат сложения проверяют вычитанием, потому что вычитание отменяет прибавление одного из слагаемых. Например, если a + b = c, то c − a должно равняться b. Вычитание проверяют сложением: к разности прибавляют вычитаемое и ожидают получить уменьшаемое. Такая проверка помогает заметить ошибку в вычислении или записи разрядов.
| Действие | Что делаем с десятками | Что делаем с единицами | Пример |
|---|---|---|---|
| Сложение | Складываем десятки с десятками | Складываем единицы с единицами; сумма меньше 10 | 23 + 14 = 37 |
| Вычитание | Вычитаем десятки из десятков | Вычитаем единицы из единиц; единиц хватает | 58 − 32 = 26 |
Сначала определите действие и проверьте, выполняется ли условие отсутствия перехода через десяток. Затем ориентируйтесь на строку таблицы: сопоставляйте только одинаковые разряды. Пример в последнем столбце показывает, как части числа соединяются в результат.
Нужно сложить два двузначных числа и проверить, получится ли переход через десяток. Разложим 23 на 20 и 3, а 14 — на 10 и 4. При сложении единиц выходит 7, поэтому новый десяток не возникает.
Ответ: 37. Проверим: 37 − 14 = 23. Значит, сложение выполнено верно.
Запишем числа так, чтобы цифры одинаковых разрядов стояли друг под другом. Единиц в уменьшаемом хватает: из 8 можно вычесть 2, поэтому десяток заменять не понадобится. Вычитаем каждый разряд отдельно.
Ответ: 26. Проверка: 26 + 32 = 58. Равенство подтверждает результат вычитания.
Сначала карандашей стало больше, а потом часть раздали, поэтому составим выражение 42 + 25 − 13. Удобно выполнить действия по порядку, сначала сложение, затем вычитание. Проверим для каждого действия, что перехода через десяток нет.
Ответ: 54 карандаша. В коробке было 42 карандаша, после добавления стало 67. После раздачи 13 карандашей осталось 54.
Первая ошибка — складывать или вычитать цифры, не учитывая их разряды. Например, цифра 3 в числе 34 означает 3 десятка, а не 3 единицы, поэтому её нельзя считать как просто 3 при работе с десятками. Так ошибаются, когда смотрят только на цифры и забывают состав числа. Проверьте себя разложением на разрядные слагаемые: 34 = 30 + 4.
Вторая ошибка — записать числа столбиком со сдвигом, так что десятки окажутся под единицами. Тогда вычисление в вертикальном столбце соединит части разного значения, и результат будет неверным. Это часто случается, если не выровнять числа перед записью. Проверьте, стоят ли последние цифры чисел — единицы — друг под другом, а цифры десятков образуют отдельный столбец.
Третья ошибка — назвать сложение примером без перехода через десяток, хотя сумма единиц равна 10 или больше. В такой ситуации возникает дополнительный десяток, поэтому его нужно учитывать, а не оставлять вычисление как есть. Ошибка появляется, если проверить только десятки и забыть про единицы. Сложите единицы отдельно: результат должен быть меньше 10, иначе переход всё-таки есть.
Четвёртая ошибка — пытаться вычесть больше единиц, чем содержится в уменьшаемом. Например, из 3 единиц нельзя вычесть 6 единиц, не заменив десяток единицами. Если продолжить вычисление без такого изменения, разрядный состав результата нарушится. Перед вычитанием сравните единицы: когда их не хватает, значит, переход через десяток необходим.
Для работы с двузначными числами нужно уметь считать десятками и единицами и представлять число как сумму разрядных слагаемых. Также пригодится знание таблиц сложения и вычитания однозначных чисел: именно эти действия выполняются внутри каждого разряда. Освоенный способ поразрядных вычислений станет опорой при действиях с переходом через десяток. Он же помогает понять письменные вычисления с многозначными числами, где разрядов больше.
Что значит «без перехода через десяток»?
При сложении единицы в сумме дают меньше 10, поэтому новый десяток не образуется. При вычитании единиц уменьшаемого хватает, и заменять один десяток десятью единицами не нужно.
Как разложить двузначное число на десятки и единицы?
Нужно представить число как сумму количества десятков и количества единиц. Например, 36 = 30 + 6: в числе три десятка и шесть единиц.
Почему числа при вычислении столбиком нужно выравнивать по разрядам?
Так единицы оказываются под единицами, а десятки — под десятками. Иначе можно сложить или вычесть цифры разных разрядов и получить неверный результат.
Можно ли складывать десятки и единицы отдельно?
Да, если при сложении единиц получается меньше 10. Тогда отдельно складывают десятки и единицы, а затем соединяют полученные части числа.
Как проверить сложение или вычитание?
Сложение можно проверить вычитанием: из суммы вычти одно слагаемое и получи другое. Вычитание проверяют сложением: к разности прибавляют вычитаемое и сравнивают результат с уменьшаемым.
Урок 1. Сложение и вычитание без перехода через десяток
