"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Двузначные числа удобно складывать и вычитать по разрядам: отдельно работать с десятками и отдельно — с единицами. Например, 36 можно представить как 30 + 6, а 12 — как 10 + 2. Такой способ помогает понять, откуда берётся результат, и избежать путаницы в вычислениях. Если при сложении единиц получается меньше 10, а при вычитании единиц хватает, переходить к другому разряду не нужно.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разряд десятков — разряд, показывающий, сколько десятков содержит двузначное число. Например, в числе 36 три десятка, то есть 30. Это понятие помогает понять, почему цифра 3 здесь означает не три единицы, а тридцать.
Разряд единиц — разряд, показывающий количество единиц в числе. В числе 36 в этом разряде стоит цифра 6, и она означает шесть единиц. Различение разрядов нужно, чтобы не смешивать значения цифр при вычислениях.
Сложение без перехода через разряд — сложение двузначных чисел, при котором сумма единиц меньше 10. Например, при сложении 36 и 12 единицы дают 6 + 2 = 8. Понятие помогает заранее понять, что к десяткам не придётся добавлять новый десяток.
Вычитание без перехода через разряд — вычитание двузначных чисел, при котором единиц уменьшаемого достаточно для вычитания единиц вычитаемого. В примере 36 − 12 из шести единиц можно вычесть две. Это определение помогает проверить, получится ли выполнить вычитание отдельно по разрядам.
Двузначное число раскладывают на десятки и единицы: 36 = 30 + 6. Это не меняет само число, а показывает его части и их значения. Такое представление удобно, потому что десятки можно считать десятками, а единицы — единицами. Например, 12 становится суммой 10 и 2, поэтому части чисел можно сопоставить по разрядам.
При вычислении 36 + 12 сначала складывают десятки: 30 + 10 = 40, затем единицы: 6 + 2 = 8. Такой порядок следует из состава чисел: десятки и единицы дают разные части будущей суммы. После отдельных вычислений части соединяют, получая 40 + 8 = 48. Если сразу сложить только цифры, не учитывая разряды, значение результата может оказаться неверным.
Сложение обходится без перехода через разряд, если сумма единиц меньше 10. В примере 6 + 2 = 8, поэтому этих единиц недостаточно, чтобы составить ещё один десяток. Все десятки остаются в своей части результата, а восемь единиц записываются отдельно. Если бы единиц получилось 10 или больше, пришлось бы учесть новый десяток.
Для вычитания 36 − 12 отдельно находят разность десятков и разность единиц. Из 30 вычитают 10, а из 6 — 2; затем получившиеся части соединяют: 20 + 4 = 24. Так можно поступать, потому что десятки вычитаются из десятков, а единицы — из единиц. Разложение помогает сохранить порядок чисел: сначала уменьшаемое, затем вычитаемое.
При вычитании без перехода через разряд единиц уменьшаемого должно хватать на вычитание единиц вычитаемого. Для 36 − 12 это условие выполняется: 6 больше 2, поэтому не нужно превращать один десяток в десять единиц. Если единиц уменьшаемого меньше, выполнить вычитание таким способом нельзя: потребуется разменять десяток. Проверка до вычисления помогает выбрать верный способ.
В таблице показано, как одно и то же разложение числа применяется для сложения и вычитания. Читай строку слева направо: сначала найди части чисел, затем действия с десятками и единицами, а в последнем столбце — общий результат. Сравни строки, чтобы увидеть, что разложение одинаково, но действия с разрядами различаются.
| Действие | Разложение чисел | Действия с десятками | Действия с единицами | Результат |
|---|---|---|---|---|
| 36 + 12 | 36 = 30 + 6; 12 = 10 + 2 | 30 + 10 = 40 | 6 + 2 = 8 | 40 + 8 = 48 |
| 36 − 12 | 36 = 30 + 6; 12 = 10 + 2 | 30 − 10 = 20 | 6 − 2 = 4 | 20 + 4 = 24 |
Задача 1. Вычисли 24 + 13. Числа двузначные, поэтому удобно сначала отделить десятки от единиц. Проверим единицы: 4 + 3 = 7, а это меньше 10, значит, складывать можно без перехода через разряд.
Задача 2. Вычисли 57 − 23. Перед вычислением проверим единицы: в уменьшаемом 7 единиц, а вычитаем 3, поэтому десяток разменивать не надо. Затем выполним действия с одинаковыми разрядами и сложим оставшиеся части разности.
Задача 3. Вычисли 42 + 35 и 68 − 24, объясни шаги и проверь результаты обратными действиями. В первом примере единицы дают 2 + 5 = 7, во втором 8 − 4 = 4. Оба действия выполняются без перехода через разряд, но для проверки выберем разные обратные действия.
Ошибка: складывать или вычитать цифры разных разрядов, например единицы одного числа с десятками другого. Так бывает, если забыть, что цифры обозначают части разной величины. Разложи оба числа и проверь, что десятки действуют с десятками, а единицы — с единицами.
Ошибка: записать результат действий с разрядами рядом, не учитывая его значения. Например, после 30 + 10 = 40 и 6 + 2 = 8 нужно получить 40 + 8 = 48, а не просто поставить цифры рядом. Проверь, что результат разрядов объединён как десятки и единицы.
Ошибка: поменять местами уменьшаемое и вычитаемое. Это меняет смысл действия: в 36 − 12 из 36 вычитают 12, а не наоборот. Чтобы проверить себя, назови числа в правильном порядке и убедись, что первое — то, от которого отнимают.
Ошибка: считать вычитание выполненным без перехода, не проверив единицы, или не проверить, что сумма единиц меньше 10 при сложении. Путаница возникает, когда начинают вычислять сразу по цифрам. Сначала сравни единицы или найди их сумму: при вычитании единиц должно хватать, при сложении сумма должна быть меньше 10.
Для разрядного способа нужно уметь представлять двузначное число как сумму десятков и единиц, а также знать состав чисел первого десятка. Он опирается на свойства сложения и вычитания суммы с числом и суммы с суммой: именно поэтому части чисел можно вычислять отдельно. Этот способ станет основой письменных вычислений и поможет понять сложение и вычитание с переходом через разряд, где единицы требуют размена или образования нового десятка.
Зачем раскладывать двузначные числа на десятки и единицы?
Так видно, из каких разрядов состоит число, и можно отдельно выполнить действия с десятками и единицами. После этого части результата легко объединить.
Почему десятки и единицы считают отдельно?
Десяток и единица — разные разрядные единицы: 3 десятка — это 30, а 3 единицы — это 3. Если складывать или вычитать части одного разряда отдельно, легче не перепутать их значения.
Как понять, что сложение выполняется без перехода через разряд?
Нужно сложить единицы слагаемых. Если их сумма меньше 10, новый десяток не образуется, значит, перехода через разряд нет.
Как проверить, что вычитание можно выполнить без перехода через разряд?
Сравни числа единиц в уменьшаемом и вычитаемом. Если единиц уменьшаемого не меньше, чем единиц вычитаемого, их можно вычесть без размена десятка.
Как проверить результат сложения или вычитания?
Сложение проверяют вычитанием: из суммы вычитают одно слагаемое и получают другое. Вычитание проверяют сложением: к разности прибавляют вычитаемое и получают уменьшаемое.
Урок 2 Сложение и вычитание без перехода через десяток вида 36 + 12. 36 - 12
