Урок 10. Делимое. Делитель. Частное

Определения и обозначения

Деление — действие, с помощью которого по произведению и одному из множителей находят другой множитель. Например, если произведение равно 24, а один множитель — 6, деление помогает найти второй: 24 : 6 = 4. Такое действие полезно, когда нужно узнать размер равных групп или количество групп. Оно связано с умножением и позволяет решать обратную задачу.

Делимое — число, которое делят; его записывают слева от знака деления. В записи 24 : 6 число 24 является делимым. По нему видно, какое количество или число распределяют. Название помогает не перепутать исходное число с тем, на которое его делят.

Делитель — число, на которое делят; его записывают справа от знака деления. В выражении 24 : 6 делитель равен 6. Он показывает, на сколько равных частей делят делимое или какого размера группу ищут. Чтобы верно прочитать действие, нужно помнить: делимое делят на делитель.

Частное — результат деления; в записи a : b = c число c является частным. Например, в равенстве 24 : 6 = 4 частное равно 4. Оно отвечает на вопрос задачи: сколько предметов приходится на одну часть или сколько групп получается. Названия компонентов помогают объяснить вычисление и проверить его умножением.

Как это устроено

Деление связано с умножением, потому что эти действия отвечают на обратные вопросы. Умножая 6 на 4, получаем 24; деля 24 на 6, ищем второй множитель. Поэтому, чтобы найти частное, подбирают число, которое при умножении на делитель даёт делимое. Например, для 24 : 6 ищут число, удовлетворяющее равенству 6 · □ = 24.

В записи a : b = c каждое число выполняет свою роль: a — делимое, b — делитель, c — частное. Знаки и порядок записи помогают понять, какое количество распределяют и на что его делят. Например, 30 : 5 = 6 означает, что 30 разделили на 5 равных частей или групп и получили 6. Если поменять делимое и делитель местами, смысл и результат обычно изменятся.

При делении на равные части заранее известно число частей, а нужно узнать, сколько предметов окажется в каждой. Если 12 яблок поровну разложить на 3 тарелки, вычисление 12 : 3 = 4 покажет число яблок на одной тарелке. Равное распределение означает, что ни одна часть не получает больше или меньше остальных. Этот способ помогает решать задачи со словами «поровну» и «в каждой».

При делении по содержанию, наоборот, известно, сколько предметов должно быть в каждой группе, и требуется узнать число групп. Если из 12 яблок составляют наборы по 3 яблока, вычисляют 12 : 3 = 4 набора. Делимое здесь показывает всё количество, а делитель — размер одной группы. Результат отвечает не на вопрос о числе предметов в группе, а на вопрос о количестве групп.

Деление проверяют умножением, потому что частное показывает, какой множитель вместе с делителем образует делимое. Для равенства 24 : 6 = 4 проверка выглядит так: 4 · 6 = 24. Если произведение не совпадает с делимым, значит, вычисление или запись сделаны неверно. При проверке важно умножать именно частное на делитель, а не на делимое.

На ноль делить нельзя: не существует числа, которое при умножении на ноль даст ненулевое делимое, поскольку любое такое произведение равно нулю. Если бы делимое тоже было нулём, подошло бы любое число, поэтому единственного частного всё равно не получилось бы. Иная ситуация — ноль разделить на ненулевое число: 0 : b = 0 при b ≠ 0, ведь 0 · b = 0. Значит, ноль может быть делимым, но не может быть делителем.

Названия компонентов и связь деления с умножением

Сначала найдите в записи знак деления, затем определите, какое число стоит слева, а какое справа. Чтобы проверить частное, умножьте его на делитель и сравните результат с делимым. Отдельно проверьте, что делитель не равен нулю.

Разбор задач

Задача 1. В коробках лежат 24 карандаша, поровну в 6 коробках. Сколько карандашей в каждой коробке? Назовите делимое, делитель и частное. Слово «поровну» подсказывает, что все 24 карандаша нужно разделить на 6 равных частей.

1. Запишем действие: 24 : 6. Число 24 — делимое, потому что именно это количество распределяют.
2. Подберём частное: 6 · 4 = 24, значит, 24 : 6 = 4. Число 6 — делитель, а 4 — частное.
3. Проверим: 4 · 6 = 24, значит, ответ согласуется с исходным количеством.

Ответ: в каждой коробке 4 карандаша; делимое — 24, делитель — 6, частное — 4. Проверка показывает, что во всех шести коробках вместе действительно будет 24 карандаша. Если бы спрашивали число коробок при известном количестве карандашей в каждой, это было бы деление по содержанию.

Задача 2. Вычислите 56 : 8 и проверьте результат. Чтобы найти частное, вспомним, какое число при умножении на 8 даёт 56. Проверку сразу запишем обратным действием.

1. Найдём в таблице умножения произведение с множителем 8, равное 56: 8 · 7 = 56.
2. Запишем результат: 56 : 8 = 7. Делимое — 56, делитель — 8, частное — 7.
3. Проверим деление: 7 · 8 = 56. Получили делимое, значит, вычисление верно.

Ответ: 7. Подбор через умножение работает потому, что частное и делитель при умножении восстанавливают исходное число. Если произведение при проверке получилось бы, например, 48, выбранное частное пришлось бы пересмотреть.

Задача 3. Для каких значений x равенство 9 · x = 63 верно? Запишите решение делением и назовите компоненты деления. Здесь неизвестен один из множителей, поэтому нужно восстановить его по произведению и известному множителю. Это как раз задача, для которой используют деление.

1. Разделим произведение 63 на известный множитель 9: x = 63 : 9.
2. Найдём частное: 63 : 9 = 7, потому что 9 · 7 = 63. Следовательно, x = 7.
3. В записи 63 : 9 = 7 делимое — 63, делитель — 9, частное — 7. Проверим исходное равенство: 9 · 7 = 63.

Ответ: x = 7. Решение делением не меняет смысл исходного равенства, а помогает найти неизвестный множитель. Проверка возвращает нас к исходному умножению и подтверждает найденное значение.

Типичные ошибки

Делимое и делитель иногда путают, называя числа только по их месту в записи и забывая смысл действия. Из-за этого число справа могут ошибочно назвать делимым, хотя на него делят. Прочитайте выражение словами: «делимое разделить на делитель». В записи 24 : 6 делимое — 24, а делитель — 6.

Частное могут принять за делимое или делитель, потому что все три числа стоят рядом в одном равенстве. Но в записи a : b = c результатом является c, а не a или b. Чтобы проверить себя, вычислите пример и назовите, какое число отвечает на вопрос «сколько получилось?». Например, в 24 : 6 = 4 частное — 4.

При проверке иногда умножают делимое на делитель или используют не те числа. Так проверка не показывает, верно ли найден результат деления. Нужно умножить именно частное на делитель и получить делимое: для 56 : 8 = 7 проверка — 7 · 8 = 56. Если произведение не равно делимому, проверьте вычисление.

Некоторые считают, что деление на ноль даёт ноль, или пытаются выполнить такое действие по привычным правилам. Ошибка возникает из-за того, что ноль воспринимают как обычный делитель. Но ни одно число при умножении на ноль не даст ненулевое делимое, а при нулевом делимом ответ не будет единственным. Поэтому выражение a : 0 не имеет смысла.

Связь с другими темами

Чтобы находить частные подбором, нужно знать таблицу умножения и помнить, что при перестановке множителей произведение не меняется. Связь деления с умножением помогает решать уравнения вида a · x = b: неизвестный множитель находят делением произведения на известный множитель. Она же позволяет проверять вычисления. Названия компонентов пригодятся при дальнейшем изучении деления натуральных чисел, дробей и выражений.

Что запомнить

• Делимое делят на делитель.
• Результат деления называют частным.
• Деление связано с умножением: частное умножают на делитель, чтобы получить делимое.
• Деление проверяют умножением.
• Ноль, делённый на ненулевое число, равен нулю.
• На ноль делить нельзя.