Урок 17. Деление круглых чисел

Определения и обозначения

Круглое число — натуральное число, которое оканчивается одним или несколькими нулями. Например, 80, 600 и 24 000 — круглые числа, а 624 — нет. Чтобы распознать такое число, посмотрите на его последнюю цифру: если это 0, число круглое. Это понятие помогает быстро замечать случаи, в которых деление можно упростить.

Деление круглых чисел — нахождение частного, когда делимое и делитель оканчиваются нулями. Делимое — число, которое делят, делитель — число, на которое делят. Например, в записи 3600 : 60 число 3600 — делимое, а 60 — делитель. Знание этого приёма позволяет легче выполнять вычисления с большими числами.

Основное свойство частного утверждает: если делимое и делитель разделить на одно и то же ненулевое число, частное не изменится. Например, 120 : 4 = 30, и 60 : 2 тоже равно 30, потому что оба числа в первой записи разделили на 2. Это свойство объясняет, почему при делении можно одновременно убрать одинаковое число конечных нулей.

Частное — результат деления. Чтобы найти его при делении круглых чисел, сначала применяют основное свойство и сокращают общие конечные нули, а затем делят получившиеся числа. Например, 900 : 30 превращается в 90 : 3, значит, частное равно 30. Такой порядок заменяет вычисление с большими числами более простым.

Как это устроено

Деление на 10, 100 или 1000 связано с разрядным составом числа. При делении целого числа на 10 его десятки становятся единицами, сотни — десятками и так далее; поэтому, если число оканчивается нулём, этот ноль можно отбросить. При делении на 100 или 1000 так же убирают соответственно два или три конечных нуля, если они есть. Например, 840 : 10 = 84, а 5000 : 100 = 50.

Одинаковое количество конечных нулей у делимого и делителя можно сократить потому, что каждый такой ноль соответствует общему множителю 10. Если убрать по одному нулю, оба числа будут разделены на 10; если по два — на 100. Основное свойство частного гарантирует, что результат не изменится. Например, 3600 : 60 превращается в 360 : 6, потому что оба числа разделили на 10.

Чтобы вычислить частное, сначала сравните количество конечных нулей и определите, сколько из них есть у обоих чисел. Сократите только это общее количество, разделив делимое и делитель на одну и ту же степень десяти. Затем выполните обычное деление и, для проверки, умножьте полученное частное на исходный делитель. Если произведение равно исходному делимому, ответ верен.

Когда нулей у делимого и делителя разное количество, сокращают лишь столько нулей, сколько есть у числа с меньшим их количеством. Например, в выражении 42 000 : 700 можно сократить по два нуля: получится 420 : 7 = 60. Если у делимого после этого остались нули, они остаются частью числа и учитываются при делении. Нельзя считать, что оставшиеся нули разрешено просто стереть.

Сокращение нулей — не отдельное правило, позволяющее произвольно менять запись чисел, а короткий способ разделить оба числа на общий множитель. Если разделить только делимое или убрать у него больше нулей, чем у делителя, частное изменится. Например, 3600 : 60 = 60, но если убрать нули только у делимого, получится 360 : 60 = 6. Это уже другое частное, потому что делимое изменили, а делитель — нет.

Приёмы деления круглых чисел

Найдите подходящую строку по ситуации, затем выполните указанный приём и сверьте вычисление с примером. В строке о разном количестве нулей сначала сократите только общую часть. Для проверки умножайте частное на исходный делитель, а не на число после сокращения.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 840 : 10.

1. Делитель равен 10, поэтому смотрим, оканчивается ли делимое на ноль. В числе 840 есть один конечный ноль.
2. Деление на 10 убирает один разряд единиц: 840 : 10 = 84. Это следует из разрядного смысла деления, а не из случайного удаления цифры.
3. Проверим умножением: 84 · 10 = 840. Произведение совпало с делимым, значит, вычисление верно.

Ответ: 84.

Задача 2. Вычислите 3600 : 60.

1. В делимом два конечных нуля, в делителе один. Значит, общим будет только один ноль, и сокращать можно по одному нулю.
2. Делим оба числа на 10: 3600 : 60 = 360 : 6. Частное осталось прежним по основному свойству частного.
3. Выполняем деление: 360 : 6 = 60. Проверка: 60 · 60 = 3600, получили исходное делимое.

Ответ: 60.

Задача 3. Вычислите 48 000 : 800 и проверьте результат.

1. В обоих числах есть по два конечных нуля. Их можно сократить одновременно, то есть разделить делимое и делитель на 100.
2. Получаем 480 : 8. Деление стало проще, а частное не изменилось, потому что оба числа разделили на один и тот же множитель.
3. Вычисляем: 480 : 8 = 60. Теперь проверяем ответ исходным делителем: 60 · 800 = 48 000.

Ответ: 60.

Типичные ошибки

Первая ошибка — убрать нули только у делимого. Так делают, потому что кажется, будто конечные нули всегда можно просто стереть, но частное при этом меняется: 3600 : 60 не равно 360 : 60. Проверьте себя: делите оба числа на одно и то же число и умножьте ответ на исходный делитель.

Вторая ошибка — сократить у делимого и делителя разное количество нулей. Причина часто в том, что ученик действует по виду записи, а не по основному свойству частного. Разделение на разные множители не сохраняет частное. Сверьте шаг: оба числа должны быть поделены на одну и ту же степень десяти.

Третья ошибка — решить, что при делении на круглое число достаточно стереть все нули делителя. Но нули можно сокращать только одновременно у делимого и делителя, поэтому сначала сравните их количество. Например, для 42 000 : 700 общими будут два нуля, а не все три нуля делителя. Проверка умножением покажет, подходит ли частное.

Четвёртая ошибка — не проверить ответ. При сокращении легко потерять ноль или неверно разделить оставшиеся числа, особенно если вычисления выполняются устно. Умножьте частное на исходный делитель: произведение должно совпасть с делимым. Если не совпало, повторно проверьте сокращение и деление.

Связь с другими темами

Для деления круглых чисел нужны таблица умножения, умение делить многозначные числа и знание разрядного состава натурального числа. Приём опирается на основное свойство частного и помогает быстрее считать в уме, а также решать задачи с большими числами. Сокращение общих нулей пригодится и при делении многозначных чисел; похожая идея используется дальше при работе с дробями. Основа приёма — преобразовать деление так, чтобы числа стали проще, не меняя частное.

Что запомнить

• Круглые числа оканчиваются одним или несколькими нулями.
• При делении на 10, 100 и 1000 учитывают разрядный состав числа.
• Делимое и делитель можно разделить на одно и то же ненулевое число — частное не изменится.
• Сокращать конечные нули нужно одновременно у делимого и делителя.
• После сокращения нулей оставшиеся числа делят обычным способом.
• Результат деления можно проверить умножением частного на делитель.