Урок 18. Умножение чисел 5, 6, 7, 8, 9 и 10

Определения и обозначения

Множитель — число, которое участвует в умножении. В записи 6 · 4 первый множитель — 6, второй — 4; они показывают, какие числа перемножают. Это различие помогает правильно читать выражение и находить в нём нужные данные.

Произведение — результат умножения двух множителей. В записи 6 · 4 = 24 числа 6 и 4 — множители, знак · означает умножение, а 24 — произведение. Такое название нужно, чтобы отличать исходные числа от ответа.

Таблица умножения чисел 5–10 — набор произведений, получаемых при умножении чисел от 5 до 10 на числа от 1 до 10. Например, в неё входят 5 · 4 и 9 · 7. Знание таблицы ускоряет вычисления и помогает решать задачи без многократного сложения.

Переместительное свойство умножения означает, что от перестановки множителей произведение не меняется: 6 · 4 = 4 · 6. Оно позволяет заменить незнакомый пример знакомым, если поменять числа местами. Например, результат 7 · 8 можно искать как 8 · 7.

Как это устроено

Умножение числа на натуральное число можно представить как сложение одинаковых слагаемых. Например, 4 · 3 означает три раза взять число 4: 4 + 4 + 4 = 12. Так становится понятно, откуда берётся табличное произведение: оно заменяет длинную запись короткой. Число одинаковых слагаемых определяется вторым множителем.

Произведения с множителем 5 удобно получать счётом пятёрками: 5, 10, 15, 20 и далее. Так происходит потому, что каждый следующий результат на 5 больше предыдущего. В конце таких результатов чередуются цифры 5 и 0: например, 5 · 3 = 15, а 5 · 4 = 20. При умножении на 10 каждый предмет считают десятком, поэтому 7 · 10 = 70; у результата появляется ноль в конце.

Для умножения на 6, 7, 8 и 9 можно использовать уже известные результаты. Сначала поменяй множители местами, если так пример становится привычнее: 6 · 8 удобно читать как 8 · 6. Это помогает, потому что переместительное свойство сохраняет произведение, хотя порядок чисел меняется. Если и после перестановки ответ не вспоминается, вычисление можно восстановить сложением.

Неизвестный результат можно найти, разложив множитель на удобные части. Например, 7 = 5 + 2, поэтому 7 · 8 = (5 + 2) · 8 = 5 · 8 + 2 · 8. Получаются известные произведения 40 и 16, которые достаточно сложить: выходит 56. Этот способ работает, потому что семь одинаковых восьмёрок можно разделить на пять и ещё две.

Результат умножения проверяют делением, так как деление восстанавливает один из множителей по произведению и другому множителю. Если 7 · 8 = 56, то 56 : 7 должно равняться 8, а 56 : 8 — 7. Если при делении получился другой ответ, значит, в умножении или проверке допущена ошибка. Две проверки помогают убедиться, что числа не перепутаны.

Умножение чисел от 5 до 10

Выбери строку с нужным множителем и посмотри, каким способом можно получить или проверить результат. Примеры в таблице показывают один из вариантов умножения, а не все произведения этого числа. Если пример незнаком, используй способ из последнего столбца.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить 5 · 4 и объяснить, как получен результат. Здесь число 5 нужно взять четыре раза, поэтому можно записать умножение как сумму одинаковых слагаемых. Также результат можно получить последовательным счётом пятёрками.

1. Заменим умножение сложением: 5 · 4 = 5 + 5 + 5 + 5.
2. Сложим первые две пятёрки: 5 + 5 = 10, и две оставшиеся: 5 + 5 = 10.
3. Сложим полученные числа: 10 + 10 = 20. При счёте пятёрками получаем тот же ответ: 5, 10, 15, 20.

Ответ: 5 · 4 = 20. Четыре одинаковых слагаемых по 5 дают 20.

Задача 2. Вычислить 7 · 8, если известно, что 8 · 5 = 40 и 8 · 2 = 16. Число 7 можно представить как сумму 5 и 2, а значит, семь групп по 8 разделятся на пять групп и ещё две. Это удобно, потому что оба получившихся произведения уже известны.

1. Разложим множитель: 7 = 5 + 2.
2. Представим произведение суммой: 7 · 8 = (5 + 2) · 8 = 5 · 8 + 2 · 8.
3. По переместительному свойству 5 · 8 = 8 · 5 = 40, а 2 · 8 = 8 · 2 = 16.
4. Сложим частичные результаты: 40 + 16 = 56.

Ответ: 7 · 8 = 56. Разложение позволило обойтись без заучивания этого результата именно для примера 7 · 8.

Задача 3. В коробке 9 рядов по 6 карандашей. Сколько карандашей в коробке? Сначала нужно определить, что в каждом ряду одинаковое число карандашей, а таких рядов девять. Поэтому общее количество можно выразить умножением, а затем проверить делением.

1. Запишем произведение: 9 · 6. Оно означает девять групп по шесть карандашей.
2. Поменяем множители местами: 9 · 6 = 6 · 9. По таблице умножения 6 · 9 = 54.
3. Проверим ответ: 54 : 9 = 6. Получили число карандашей в одном ряду, как и сказано в условии.

Ответ: в коробке 54 карандаша. Проверка делением подтверждает, что произведение найдено верно.

Типичные ошибки

Иногда множители называют произведением или, наоборот, ответ принимают за один из множителей. Так путаются, потому что все числа стоят в одной короткой записи. Проверь себя: в примере 6 · 4 = 24 перемножают 6 и 4, а результатом является 24. Можно отдельно назвать каждую часть равенства.

Некоторые считают, что при перестановке множителей меняется результат. На деле меняется только порядок чисел: 6 · 4 и 4 · 6 обозначают одинаковое количество. Чтобы проверить себя, вычисли оба примера или представь их как одинаковые группы. В обоих случаях получится 24.

При замене умножения сложением можно прибавить множитель лишний раз или забыть одно слагаемое. Это происходит, если не соотнести число слагаемых со вторым множителем. Например, 5 · 4 — это четыре пятёрки, а не пять пятёрок. Пересчитай слагаемые и сравни их количество с числом групп.

Ошибки в произведениях на 6–9 часто возникают, когда результат пытаются только вспомнить. Вместо случайного выбора ответа разложи множитель на удобные части или поменяй множители местами. Затем проверь вычисление делением: для 7 · 8 = 56 должно выполняться 56 : 7 = 8. Если проверка не сходится, пересчитай частичные произведения и их сумму.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно уметь складывать одинаковые слагаемые и понимать, что умножение сокращает такую запись. Переместительное свойство и ранее изученные произведения помогают находить новые результаты без полного пересчёта. Табличное умножение затем используется при делении: произведение помогает определить частное. Оно также нужно в текстовых задачах на равные группы и при вычислении выражений с несколькими действиями.

Что запомнить

• Произведение — результат умножения.
• Множители можно менять местами, произведение при этом не меняется.
• Умножение можно представить как сложение одинаковых слагаемых.
• Произведения на 5 удобно находить счётом пятёрками.
• При умножении натурального числа на 10 к числу приписывают ноль.
• Неизвестное произведение можно найти, опираясь на известные результаты.
• Умножение проверяют делением.