Урок 19. Умножение чисел 5, 6. 7, 8, 9 и 10

Определения и обозначения

Умножение — действие, заменяющее сложение одинаковых слагаемых. Например, 5 · 3 означает 5 + 5 + 5. Это действие удобно, когда несколько групп содержат поровну предметов: вместо длинного сложения можно сразу записать число групп и количество предметов в каждой.

Множители — числа, которые перемножают; первое и второе числа в записи произведения. В примере 6 · 4 множители — 6 и 4. Их порядок помогает описать ситуацию: можно указать, сколько предметов в группе и сколько таких групп, поэтому при решении задачи сначала выясняют, что означает каждое число.

Произведение — результат умножения двух или нескольких множителей. Например, в равенстве 6 · 4 = 24 число 24 — произведение. Это название помогает различать действие и его результат, а также понимать запись, когда произведение нужно найти или проверить.

Таблица умножения — упорядоченный набор результатов умножения чисел на 5, 6, 7, 8, 9 и 10. В ней можно быстро найти нужное произведение по строке и столбцу. Таблица не только помогает считать, но и показывает связи между соседними результатами.

Как это устроено

Умножение на число можно представить как повторное сложение одинаковых слагаемых. Например, 6 · 4 — это четыре шестёрки: 6 + 6 + 6 + 6 = 24. Такое представление объясняет смысл записи: один множитель задаёт размер каждой группы, а другой — число групп. Поэтому при выборе примера по задаче нужно понять, сколько предметов приходится на одну группу и сколько групп всего.

В каждом столбце таблицы следующий результат больше предыдущего на один и тот же множитель. Например, 5 · 3 = 15, а 5 · 4 = 20: добавилась ещё одна пятёрка. Причина в том, что при переходе к следующей строке число групп увеличивается на одну, а значит, к общей сумме присоединяется ещё одно одинаковое слагаемое. Если один случай забыт, его можно восстановить через соседний, не пересчитывая всё с начала.

Перестановка множителей не меняет произведение, потому что меняется расположение групп, но не общее количество предметов. Если разложить 24 предмета как 6 рядов по 4, получится столько же, сколько в 4 рядах по 6. Поэтому 6 · 4 = 4 · 6. Это свойство сокращает объём запоминания и помогает проверить ответ, если более удобный порядок множителей известен лучше.

Умножение на 5 удобно связывать с половиной умножения на 10: 5 · n — это половина от 10 · n. Поэтому результаты чередуют окончания 5 и 0: 5, 10, 15, 20 и так далее. При умножении целого числа на 10 каждая цифра переходит в разряд в десять раз крупнее, и в записи появляется ноль справа, например 7 · 10 = 70. Эти закономерности позволяют быстро находить результаты и замечать ошибки в окончании числа.

Таблицу на 6, 7, 8 и 9 можно учить, опираясь на уже известные произведения и соседние случаи. Например, 7 · 8 можно получить из 7 · 7, прибавив ещё 7: 49 + 7 = 56. Переместительное свойство помогает заменить трудный случай на знакомый: 8 · 6 = 6 · 8. Проверить результат можно делением на один из множителей: если произведение найдено верно, в частном получится другой множитель.

Таблица умножения на 5, 6, 7, 8, 9 и 10

Найди в первом столбце нужное значение n, а затем двигайся по строке до столбца с нужным множителем. На пересечении находится произведение. Если сомневаешься в результате, сравни его с соседним в том же столбце: разница должна быть равна числу в заголовке этого столбца.

Разбор задач

Вычислить 6 · 4 и объяснить решение двумя способами

Первый способ — заменить умножение сложением одинаковых слагаемых. Второй — переставить множители и воспользоваться переместительным свойством. Оба рассуждения должны привести к одному результату, потому что описывают одно и то же количество.

1. Запишем 6 · 4 как сумму четырёх шестёрок: 6 + 6 + 6 + 6 = 24.
2. Переставим множители: 6 · 4 = 4 · 6.
3. Представим второй пример как 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24.

Ответ: 24. В первом случае взяли четыре группы по шесть, во втором — шесть групп по четыре. Результат совпал, поэтому оба способа подтверждают вычисление.

В коробки кладут по 7 карандашей. Сколько карандашей в 8 таких коробках?

В каждой коробке лежит одинаковое количество карандашей, значит, общее число можно найти умножением. Число 7 показывает количество карандашей в одной группе, а 8 — число групп. Ищем произведение 7 · 8.

1. Запишем условие одним примером: 7 · 8.
2. В таблице умножения найдём пересечение строки n = 8 и столбца n · 7: это 56.
3. Проверим соседним случаем: 7 · 7 = 49, а ещё одна коробка добавляет 7 карандашей, поэтому 49 + 7 = 56.

Ответ: в восьми коробках 56 карандашей. Проверка показывает, что результат увеличился на семь относительно семи коробок. Здесь важно умножать, а не складывать числа 7 и 8: группы содержат одинаковые слагаемые.

В классе 9 рядов по 6 стульев. После этого 10 стульев убрали. Сколько стульев осталось?

Сначала нужно узнать, сколько стульев было во всех рядах вместе. Для этого число рядов умножаем на число стульев в каждом ряду, а затем вычитаем убранные стулья. Выполняем действия именно в таком порядке, потому что убрать можно только из первоначального общего количества.

1. Найдём число стульев в 9 рядах: 9 · 6 = 54.
2. Вычтем убранные стулья: 54 − 10 = 44.
3. Проверим: 44 оставшихся и 10 убранных составляют 54 стула.

Ответ: осталось 44 стула. Если начать с вычитания 9 или 6, смысл чисел задачи потеряется. Проверка обратным сложением подтверждает, что вычисления выполнены верно.

Типичные ошибки

Иногда путают множители и неверно выбирают число одинаковых слагаемых. Так бывает, если не выяснить, какое число показывает размер одной группы, а какое — количество групп. Перед вычислением подпиши смысл каждого числа; для проверки представь, например, 7 карандашей в каждой из 8 коробок как восемь семёрок.

Ошибка 7 · 8 = 7 + 8 возникает, когда забывают, что умножение означает повторение одинакового слагаемого, а не сложение самих множителей. В задаче с группами ответ 15 не может описывать восемь коробок по семь карандашей. Проверь запись повторным сложением: 7 · 8 — это восемь семёрок, всего 56.

Некоторые считают, что при перестановке множителей меняется произведение, или неправильно переносят цифры в примере. Причина — путаница между изменением порядка и изменением количества групп. Используй наглядное сравнение рядов и столбцов: 6 · 4 и 4 · 6 дают одно общее количество, а вычислить можно тем способом, который удобнее.

В таблице на 6, 7, 8 и 9 легко ошибиться, если заучивать результаты механически и не проверять их. Например, соседние произведения в столбце на 8 должны отличаться на 8. Если найдено 8 · 6 = 48, то 8 · 7 должно быть на 8 больше — 56; проверка делением также даст 56 : 8 = 7.

Связь с другими темами

Перед изучением умножения полезно понимать сложение одинаковых слагаемых, смысл групп и названия компонентов действия. Переместительное свойство помогает менять порядок множителей и связывает разные случаи таблицы. В дальнейшем умножение пригодится в текстовых задачах, при делении и нахождении площади прямоугольника: число рядов умножают на число предметов в ряду или длину одной стороны — на длину другой. Оно также становится частью многошаговых вычислений, где нужно верно определить порядок действий.

Что запомнить

• Умножение можно заменить сложением одинаковых слагаемых.
• Числа, которые перемножают, называются множителями.
• Результат умножения называется произведением.
• От перестановки множителей произведение не изменяется.
• Чтобы получить следующий результат таблицы, нужно прибавить соответствующий множитель.
• Умножение на 5, 6, 7, 8, 9 и 10 нужно знать наизусть и уметь проверять обратным действием.