Урок 20. Свойства чисел 0 и 1 при умножении

Определения и обозначения

Множители — это числа, которые участвуют в умножении. Например, в записи 3 × 4 числа 3 и 4 являются множителями. Это название помогает различать части действия и понимать, какое число на какое умножают.

Произведение — результат умножения, а также выражение, в котором числа соединены знаком умножения. Например, в записи 3 × 4 = 12 число 12 — произведение чисел 3 и 4. Когда нужно применить правило к произведению, важно сначала увидеть его множители.

Умножение на единицу — свойство, по которому произведение любого числа и единицы равно этому числу: a × 1 = a. Буква a обозначает любое число, а равенство показывает правило сразу для множества примеров. Оно нужно, чтобы быстро узнавать результат и упрощать выражения.

Умножение на нуль — свойство, по которому произведение любого числа и нуля равно нулю: a × 0 = 0. Здесь a также может быть любым числом. Правило позволяет не выполнять сложение одинаковых слагаемых и сразу находить произведение.

Как это устроено

Представим умножение как сложение одинаковых слагаемых: 5 × 1 означает одну группу по 5. В этой группе пять предметов, поэтому 5 × 1 = 5. Множитель 1 сообщает, что группа всего одна, и добавлять другие группы не нужно.

При умножении на нуль предметы не появляются. Если взять ноль групп по 5 предметов, получится пустой набор; если взять несколько групп, но в каждой будет по нулю предметов, результат тоже будет пустым. Поэтому и 5 × 0, и 0 × 5 равны нулю.

Правило работает при обоих порядках множителей: 1 × a = a и 0 × a = 0, так же как a × 1 = a и a × 0 = 0. Это связано с переместительным свойством умножения: если поменять множители местами, произведение не изменится. Например, 1 × 8 и 8 × 1 дают один и тот же результат.

Свойства помогают считать быстрее, чем через сложение одинаковых слагаемых. В выражении 7 × 0 не нужно записывать ноль семь раз, а в выражении 9 × 1 — складывать девятку саму с собой: правила сразу дают ответы 0 и 9. Так же упрощают отдельные части более длинных выражений.

Буква в записи правила может обозначать неизвестный множитель. Если a = 1, то при умножении на единицу результатом будет другой множитель, например 6 × 1 = 6. Если a = 0, произведение равно нулю независимо от второго множителя. Поэтому из равенства с умножением на ноль часто нельзя узнать, чему равна неизвестная буква.

Результат умножения на 1 и на 0

Чтобы воспользоваться таблицей, найдите в произведении множитель 0 или 1. Затем примените правило независимо от того, стоит этот множитель первым или вторым. Если выражение составное, сначала упростите такие произведения, а потом выполните остальные действия.

Разбор задач

Задача. Вычислите: 8 × 1 и 0 × 8. Нужно найти два произведения, в каждом из которых есть единица или нуль. Вместо сложения одинаковых слагаемых применим свойства умножения.

1. В произведении 8 × 1 множитель 1 стоит вторым. Умножение на единицу не изменяет число, поэтому 8 × 1 = 8.
2. В произведении 0 × 8 множитель 0 стоит первым. Произведение любого числа на нуль равно нулю, поэтому 0 × 8 = 0.

Ответ: 8 и 0.

Задача. Найдите значение выражения 6 × 0 + 4 × 1. Здесь есть два произведения, соединённых сложением. Сначала упростим каждое произведение, а затем сложим полученные числа.

1. Вычислим 6 × 0. По свойству умножения на нуль получаем 0.
2. Вычислим 4 × 1. По свойству умножения на единицу получаем 4.
3. Подставим результаты: 0 + 4 = 4.

Ответ: 4.

Задача. Найдите неизвестный множитель: x × 1 = 9; y × 0 = 0. Можно ли однозначно определить y? В первом равенстве неизвестное число умножено на единицу, а во втором — на нуль, поэтому используем разные свойства.

1. В равенстве x × 1 = 9 множитель 1 не изменяет число. Значит, x = 9.
2. В равенстве y × 0 = 0 произведение будет нулём при любом y. Например, подходят и y = 2, и y = 10.
3. Так как возможны разные значения y, однозначно найти его нельзя.

Ответ: x = 9; значение y определить однозначно нельзя.

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что при умножении на 0 число сохраняется. Так бывает, если перепутать нуль с единицей или невнимательно прочитать множители. Проверь себя: любое произведение с множителем 0 равно 0, например 8 × 0 = 0, а не 8.

Ошибка: думать, что умножение на 1 даёт 1. Единица не заменяет другой множитель, а оставляет его без изменения; путаница может появиться из-за того, что 1 часто воспринимают как особое число. Для проверки посмотри на второй множитель: 7 × 1 = 7, а не 1.

Ошибка: применять свойства только к записи a × 1 и a × 0. Иногда забывают, что множитель 1 или 0 может стоять и первым, потому что сосредоточены на порядке записи. Проверь оба варианта: 1 × 7 = 7, 0 × 7 = 0; порядок не меняет результат.

Ошибка: пытаться найти x из равенства x × 0 = 0. Кажется, что у каждого уравнения должно быть одно решение, но здесь любой множитель при нуле даёт тот же результат. Подставь несколько чисел: равенство выполняется и при x = 1, и при x = 5, значит, единственное значение определить нельзя.

Связь с другими темами

Чтобы понять эти свойства, нужно знать смысл умножения как сложения одинаковых слагаемых и названия компонентов действия: множители и произведение. Это помогает объяснить, почему одна группа сохраняет число, а ноль групп даёт ноль. Правила применяются при устных вычислениях и упрощении выражений, а также при решении уравнений с неизвестным множителем. В уравнениях важно учитывать, что множитель 1 сохраняет число, а множитель 0 может сделать равенство верным при любом значении неизвестной.

Что запомнить

• Любое число, умноженное на 1, не изменяется.
• 1, умноженная на любое число, равна этому числу.
• Любое число, умноженное на 0, равно 0.
• 0, умноженный на любое число, равен 0.
• Порядок множителей не меняет результат.
• Из равенства x × 0 = 0 нельзя определить x.