Урок 21. Таблица умножения до 20

Определения и обозначения

Умножение — действие, заменяющее сложение одинаковых слагаемых более короткой записью. Например, 4 + 4 + 4 можно записать как 4 × 3. Такое действие удобно, когда нужно быстро посчитать несколько одинаковых групп, не складывая каждую группу отдельно.

Множитель — каждое из чисел, которые перемножают. В записи 4 × 3 оба числа, 4 и 3, являются множителями. Они сообщают, сколько предметов находится в одной группе и сколько таких групп рассматривается, поэтому помогают правильно составить выражение.

Произведение — результат умножения двух или нескольких чисел. Например, в выражении 4 × 3 = 12 произведение равно 12, а не 4 или 3. Умение отличать произведение от множителей нужно, чтобы верно читать выражения и проверять вычисления.

Таблица умножения — упорядоченный набор результатов умножения чисел от 1 до 20. В ней множители расположены по строкам и столбцам, а их произведения указаны в соответствующих клетках. Такая запись помогает быстро находить ответ и замечать связи между разными произведениями.

Как это устроено

Умножение связано с повторным сложением: если в каждой группе по 4 предмета и групп 3, то всего получится 4 + 4 + 4, то есть 4 × 3. Второй множитель показывает, сколько раз берётся первое число, поэтому он задаёт количество одинаковых слагаемых. Если поменять число групп, изменится и сумма, поэтому при составлении выражения нужно внимательно определить, что означает каждый множитель.

Множители можно менять местами: 4 × 3 = 3 × 4. В первом случае это три группы по четыре предмета, во втором — четыре группы по три, и общее количество в обоих случаях одинаково. Переместительное свойство полезно, когда один из вариантов уже известен: вместо трудного 8 × 6 можно вспомнить более удобное 6 × 8, не меняя результата.

Умножение на 2 означает удвоение числа, поэтому результат легко получить, сложив число с самим собой: 7 × 2 = 7 + 7 = 14. При умножении на 5 можно считать пятёрками, а при умножении на 10 — перейти к следующему разряду: например, 14 × 10 = 140. Эти закономерности позволяют быстрее вычислять и служат способом самопроверки, если результат не сразу вспоминается.

Если произведение трудно запомнить, множитель можно представить суммой или разностью удобных чисел. Например, 7 = 5 + 2, поэтому 8 × 7 = 8 × 5 + 8 × 2 = 40 + 16 = 56. Так действует распределительное свойство: число умножают на каждую часть, а затем складывают полученные результаты; для разности результаты вычитают.

В таблице каждая строка соответствует первому множителю, а каждый столбец — второму. Чтобы найти произведение 12 × 7, нужно выбрать строку 12 и столбец × 7: их пересечение даст 84. Поскольку множители можно переставлять, тот же ответ находится в строке 7 и столбце × 12, что одновременно позволяет проверить себя.

Таблица умножения чисел от 1 до 20

Сначала найди строку с первым множителем, затем столбец со вторым и посмотри на их пересечение. Например, в строке 8 и столбце × 7 стоит 56, значит, 8 × 7 = 56. Если удобнее, поменяй множители местами и найди то же произведение в другой части таблицы.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить 7 × 8. Если результат не вспоминается сразу, можно разложить 8 на знакомые слагаемые 5 и 3. Тогда вычисление опирается на произведения с 5 и 3, которые найти проще.

1. Представим второй множитель как сумму: 8 = 5 + 3.
2. Применим распределительное свойство: 7 × 8 = 7 × (5 + 3) = 7 × 5 + 7 × 3.
3. Вычислим части: 35 + 21 = 56.

Ответ: 56. Проверка: 8 × 7 даёт то же произведение, а в таблице на пересечении строки 7 и столбца × 8 находится 56. Разложение помогает не угадывать ответ, а восстановить его через уже известные результаты.

Задача 2. Вычислить 14 × 6. Число 14 удобно представить как 10 + 4, потому что оба слагаемых легко умножить на 6. После этого останется сложить два полученных произведения.

1. Разложим первый множитель: 14 = 10 + 4.
2. Умножим каждую часть на 6: 14 × 6 = (10 + 4) × 6 = 10 × 6 + 4 × 6.
3. Найдём значения частей: 60 + 24 = 84.

Ответ: 84. Проверим иначе: 14 × 6 — это шесть групп по 14, а перестановка множителей даёт 6 × 14. В таблице строка 14 и столбец × 6 также приводят к 84, поэтому вычисление подтверждается двумя способами.

Задача 3. В 8 коробках лежит по 12 карандашей. Сколько карандашей всего? Здесь предметы собраны в равные группы: число карандашей в каждой коробке одинаково, а коробок несколько. Поэтому нужно не складывать числа наугад, а найти количество предметов в одной группе и число групп.

1. Определим множители: 12 карандашей в одной коробке и 8 коробок.
2. Составим выражение: 12 × 8.
3. Найдём произведение: 12 × 8 = 96.
4. Проверим: 8 × 12 тоже равно 96, а в таблице произведение находится на пересечении строки 12 и столбца × 8.

Ответ: всего 96 карандашей. Можно проверить результат сложением восьми одинаковых слагаемых по 12, но таблица и переместительное свойство помогают сделать это быстрее. При записи ответа укажем не только число, но и предметы счёта — карандаши.

Типичные ошибки

Иногда произведение называют одним из множителей: например, считают, что в записи 4 × 3 результатом является 4 или 3. Так происходит, когда ученик не отделяет исходные числа от ответа. Проверь себя: вычисли выражение и запиши равенство полностью, например 4 × 3 = 12.

Другая ошибка — сложить множители вместо умножения, потому что запись читают как обычное сложение. Это случается, если не заметить в условии равные группы: три группы по четыре — не 4 + 3, а 4 + 4 + 4. Перед вычислением спроси себя, какие предметы повторяются и сколько одинаковых групп дано.

Переместительное свойство иногда понимают так, будто после перестановки множителей меняется ответ. На самом деле меняется только порядок чисел: 5 × 7 и 7 × 5 равны 35. Для проверки вычисли оба выражения или найди одну и ту же пару чисел в строке и столбце таблицы.

При умножении на 10, 11 или 20 можно случайно записать лишний ноль или неверно сложить части. Такие ошибки возникают, если действовать по памяти, не проверяя разряды и состав числа. Пересчитай результат разложением: например, 14 × 11 = 14 × (10 + 1) = 140 + 14 = 154, а затем сравни его с таблицей.

Связь с другими темами

Чтобы освоить умножение, полезно уметь складывать одинаковые слагаемые, считать группами и раскладывать числа на части. Эти умения объясняют, откуда берётся произведение, и помогают восстановить забытый результат. Если знаешь состав числа, легче выбрать удобное разложение, например 7 = 5 + 2.

Умножение встречается в текстовых задачах на равные группы: так находят общее количество предметов или цену нескольких одинаковых вещей. Оно помогает вычислять площадь прямоугольника, умножая длину на ширину. При действиях с многозначными числами те же правила применяются к разрядам и отдельным частям числа.

Таблица умножения служит основой для деления: если 6 × 8 = 48, то из этого можно узнать, что 48 : 6 = 8. Она нужна и при письменном умножении, где важно уверенно находить произведения цифр. Позже эти навыки пригодятся при вычислениях с дробями.

Что запомнить

• Умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых.
• Числа, которые умножают, называются множителями.
• Результат умножения называется произведением.
• От перестановки множителей произведение не изменяется.
• Чтобы умножить число на сумму, можно умножить его на каждое слагаемое и сложить результаты.
• Таблица умножения помогает быстро находить произведения чисел от 1 до 20.