Урок 22. Таблица умножения до 20

Определения и обозначения

Таблица умножения — это записи произведений чисел и соответствующих им результатов. Чтобы найти значение произведения, нужно отыскать в таблице нужные множители и прочитать ответ; например, для 4 × 3 результат равен 12. Таблица помогает считать быстрее, чем повторять сложение каждый раз. Она также показывает связи между разными произведениями.

Множители — числа, которые перемножают. В записи a × b множитель a указывает, какое число берут, а множитель b — сколько раз его берут при представлении умножения сложением. Например, в 4 × 3 число 4 складывают три раза. Различать множители нужно, чтобы правильно разложить умножение на сумму.

Произведение — результат умножения, а также выражение, в котором указаны множители. В записи 6 × 4 выражение целиком является произведением, а его значение равно 24. По контексту слово «произведение» может называть и запись, и полученный ответ. Это помогает понимать условие задачи и не путать его с числом множителя.

Перестановочное свойство умножения говорит: если поменять множители местами, значение произведения не изменится. Например, 3 × 7 = 7 × 3, и оба выражения равны 21. Это свойство позволяет не учить отдельно случаи, которые отличаются только порядком чисел. Для проверки можно вычислить более знакомый вариант.

Как это устроено

Умножение заменяет сложение одинаковых слагаемых, потому что повторяющиеся группы удобно записать кратко. Например, 4 × 3 означает сумму трёх четвёрок: 4 + 4 + 4 = 12. Второй множитель показывает количество слагаемых, а первый — какое число повторяется. Так смысл записи можно проверить обычным сложением.

Табличные произведения составляют именно по этому правилу: складывают одинаковые числа и записывают результат короче, знаком умножения. Например, 5 + 5 + 5 + 5 можно записать как 5 × 4, а значение произведения равно 20. Такой переход удобен, когда одинаковых слагаемых много. Табличные записи сохраняют уже найденные результаты, чтобы не вычислять их заново.

Перестановка множителей даёт новые табличные случаи, потому что число одинаковых групп и число предметов в каждой группе можно поменять местами, не меняя общего количества. Поэтому 3 × 7 и 7 × 3 равны: оба выражения дают 21. Если одно произведение уже известно, его переставленный вариант тоже можно считать известным. Это сокращает объём вычислений и запоминания.

В таблице видна закономерность: если один множитель увеличить на 1, произведение увеличится на другой множитель. Например, 4 × 6 = 24, а 5 × 6 = 30; разница равна 6. Причина в том, что к прежней сумме добавилась ещё одна шестёрка. Эту закономерность можно использовать для вычисления соседнего табличного случая.

Случаи с числами до 20 можно находить через известные произведения, не заучивая каждую запись отдельно. Например, число 12 удобно представить как 10 + 2, а затем умножить обе части на 6: 10 × 6 + 2 × 6. Такой способ опирается на знакомое умножение на 10 и табличный случай 2 × 6. Разложение позволяет получить ответ и проверить каждый его шаг.

Табличные произведения и способы их получить

Сначала найди в первом столбце подходящий вид примера, затем прочитай значение или выбери способ проверки из третьего столбца. Если множитель больше 10, разложи его на удобные части и вычисли каждую отдельно. Результат можно проверить сложением или переходом от соседнего табличного случая.

Разбор задач

Задача. Вычисли 6 × 4. Чтобы не ошибиться в числе слагаемых, сначала определим роль каждого множителя: четыре показывает, сколько шестёрок нужно сложить. Можно также вспомнить табличный результат и проверить его сложением.

1. Запишем умножение как сумму одинаковых слагаемых: 6 × 4 = 6 + 6 + 6 + 6.
2. Сложим первые две шестёрки: 6 + 6 = 12, затем прибавим ещё 6 и получим 18.
3. Прибавим последнюю шестёрку: 18 + 6 = 24.

Ответ: 6 × 4 = 24. В сумме ровно четыре слагаемых, как и требует второй множитель. Если таблица известна, можно сразу назвать 24 и использовать сложение для проверки.

Задача. Найди 7 × 8, если известно, что 8 × 7 = 56. Здесь не требуется заново складывать восьмёрки или семёрки: два выражения отличаются только порядком множителей. Воспользуемся перестановочным свойством умножения.

1. Запишем известное равенство: 8 × 7 = 56.
2. Поменяем множители местами: по перестановочному свойству 7 × 8 = 8 × 7.
3. Подставим известное значение: 7 × 8 = 56.

Ответ: 7 × 8 = 56. Свойство сработало, потому что оба выражения содержат одни и те же множители. Оно позволяет использовать знакомую запись, даже если числа стоят в другом порядке.

Задача. Вычисли 12 × 6, используя известное табличное произведение. Число 12 больше 10, поэтому представим его как сумму удобных чисел 10 и 2. Затем отдельно найдём произведения каждого слагаемого на 6.

1. Разложим первый множитель: 12 = 10 + 2, значит 12 × 6 = (10 + 2) × 6.
2. Применим распределительное свойство: (10 + 2) × 6 = 10 × 6 + 2 × 6.
3. Вычислим части: 10 × 6 = 60, а 2 × 6 = 12; сложим 60 + 12 = 72.

Ответ: 12 × 6 = 72. Мы использовали знакомое умножение на 10 и табличный случай 2 × 6. Проверка разложения проста: 10 + 2 действительно равно 12.

Типичные ошибки

Можно перепутать множители и произведение: в записи 6 × 4 множители — 6 и 4, а произведение — выражение 6 × 4 или его значение 24. Ошибка возникает, если считать, что произведением называется только одно из чисел в записи. Проверь себя: найди оба числа до знака равенства, а результат вычисления запиши отдельно. Тогда роли чисел не смешаются.

Иногда думают, что при перестановке множителей ответ обязательно меняется. Это происходит, если перенести на умножение представление о действиях, где порядок важен, например о вычитании. Проверка здесь — сравнить оба выражения на небольших числах или применить перестановочное свойство: 3 × 7 = 7 × 3. Умножение даёт одно и то же произведение.

При замене умножения сложением можно пропустить слагаемое. Обычно это случается, когда считают сумму устно и не следят за количеством повторений. В записи 4 × 3 должно быть три четвёрки: 4 + 4 + 4. Пересчитай слагаемые и сравни их количество со вторым множителем.

Вычисляя произведение с числом до 20, можно неверно применить знакомый табличный случай или разложить число не так, как нужно. Например, после разложения 12 на 10 и 2 необходимо умножить на 6 обе части, а не только одну. Проверь, что сумма частей равна исходному числу, а в записи есть оба произведения: 10 × 6 и 2 × 6. Затем сложи их и при необходимости проверь результат другим способом.

Связь с другими темами

Для понимания умножения нужно уметь складывать одинаковые слагаемые и понимать, что обозначают множители. Это знание связывает короткую запись произведения с привычным сложением и помогает проверять ответы. Таблица умножения понадобится при письменном умножении и делении, вычислении значений выражений и решении текстовых задач. Чем увереннее известны табличные случаи, тем легче выполнять эти действия без лишних промежуточных вычислений.

Что запомнить

• Умножение можно представить как сложение одинаковых слагаемых.
• Множители — числа, которые перемножают.
• Результат умножения называется произведением.
• От перестановки множителей произведение не меняется.
• Если один множитель увеличить на 1, произведение увеличится на другой множитель.
• Новые произведения удобно находить через известные табличные случаи.