"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Круглые числа оканчиваются одним или несколькими нулями: например, 40, 300 или 1200. При умножении таких чисел удобно сначала выполнить вычисление без конечных нулей, а затем восстановить разряды множителей. Так легче считать в уме и не потерять разряд. Главное — правильно перемножить ненулевые части и учесть все конечные нули; если произведение этих частей само оканчивается нулём, этот ноль тоже сохраняется.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Круглые числа — это числа, которые оканчиваются одним или несколькими нулями. Например, 70 оканчивается одним нулём, а 5000 — тремя. Их удобно умножать, потому что конечные нули показывают разряд числа: 70 — это 7 десятков, а 5000 — 5 тысяч.
Множители — числа, которые перемножают. В записи 40 · 3 множители — 40 и 3, а в записи 200 · 30 множителями являются оба круглых числа. Чтобы вычислить произведение, полезно отделить конечные нули от остальных цифр и сначала выполнить умножение ненулевых частей.
Произведение — результат умножения. Например, в записи 20 · 4 = 80 число 80 является произведением. При умножении круглых чисел результат зависит не только от ненулевых частей множителей, но и от разрядов, которые обозначают их нули.
Разрядная единица — это число 1, 10, 100, 1000 и так далее, соответствующее разряду. У единицы один ноль, у сотни — два, у тысячи — три: поэтому 400 = 4 · 100. Такое представление помогает понять, откуда в произведении берутся нули и сколько разрядов они обозначают.
Круглое число можно представить как произведение своей ненулевой части и разрядной единицы. Например, 300 = 3 · 100, а 40 = 4 · 10. Поэтому при умножении 300 · 40 можно сначала перемножить 3 и 4, а затем учесть, что множители содержат вместе три разрядные единицы-десятки: 100 · 10 = 1000. Получается 12 · 1000 = 12 000.
У двух круглых множителей складывают количество их конечных нулей. Это связано с тем, что каждый ноль соответствует множителю 10: например, 200 содержит два множителя 10, а 30 — один. При умножении вместе получается 10 · 10 · 10, то есть 1000, поэтому в 200 · 30 к результату 2 · 3 приписывают три нуля.
Нули не прибавляют к произведению как обычные числа, потому что ноль в конце записи меняет разряд и величину числа. Например, 6 + 2 нуля = 8, а если записать справа два нуля, получится 600. Это соответствует умножению 6 на 100, а не сложению; поэтому нули ставят справа от результата вычисления ненулевых частей.
При умножении круглого числа на однозначное число конечные нули круглого множителя сохраняются. Например, 30 · 4 можно посчитать как 3 · 4 десятка: 12 десятков — это 120. Если второй множитель многозначный, нужно учитывать его разряды: 40 · 23 = 40 · 20 + 40 · 3. Такое разложение показывает, почему нельзя просто приписать к произведению нули круглого множителя, не умножив на остальные цифры.
Проверка обратным действием опирается на связь умножения и деления: если 200 · 30 = 6000, то 6000 : 30 должно быть равно 200. Можно также прикинуть величину ответа и число цифр. Например, 200 — это около 2 сотен, а 30 — около 3 десятков; их произведение должно быть около 6 тысяч, а не 600.
В таблице показано, как выбрать способ вычисления и учесть разряды множителей. Сначала определите, какие части нужно перемножить, а затем посчитайте конечные нули. В последней строке таблицы речь идёт о проверке уже найденного результата.
| Случай | Действия с ненулевыми частями | Что делать с нулями | Пример для разбора |
|---|---|---|---|
| Умножение круглого числа на однозначное число | Умножить ненулевую часть на однозначный множитель | Сохранить конечные нули круглого множителя | 30 · 4 = 3 · 4 и один ноль: 120 |
| Умножение двух круглых чисел | Перемножить части без конечных нулей | Приписать справа все конечные нули обоих множителей | 200 · 30 = 2 · 3 и три нуля: 6000 |
| Умножение круглого числа на многозначное число | Умножить на разрядные слагаемые или выполнить вычисление столбиком | Учитывать нули круглого множителя в каждом разрядном произведении | 40 · 23 = 40 · 20 + 40 · 3 = 920 |
| Проверка результата умножения | Разделить произведение на один множитель | Проверить, что разряд и количество нулей согласуются с оценкой | 6000 : 30 = 200 |
Вычислить 30 · 4. Здесь круглый только первый множитель, а второй — однозначное число. Удобно сначала умножить ненулевую часть, а затем восстановить десятки, которые обозначает ноль в числе 30.
Ответ: 120. Проверка: 120 : 4 = 30, значит, вычисление согласуется с обратным действием. Результат также разумен: четыре раза по 30 — это больше 100, но меньше 200.
Вычислить 200 · 30. Оба множителя круглые, поэтому нужно учесть нули в каждом из них. Сначала отделим ненулевые части, а затем восстановим разряд произведения.
Ответ: 6000. Проверим делением: 6000 : 30 = 200. Нули здесь не прибавлены к 6, а показывают, что произведение 6 умножено на тысячу.
В 6 коробках лежит по 40 карандашей. Нужно узнать общее количество, то есть сложить содержимое всех шести одинаковых коробок. Повторение одного и того же числа несколько раз удобно заменить умножением: 40 карандашей берём 6 раз.
Ответ: всего 240 карандашей. Проверка по смыслу: шесть коробок по 40 — это больше, чем шесть коробок по 30, то есть больше 180; 240 подходит. Обратная проверка даёт 240 : 6 = 40 карандашей в каждой коробке.
Ученик может приписать нули только от одного множителя, например получить 600 вместо 6000 в примере 200 · 30. Так происходит, если посчитать нули у 200, но забыть ноль у 30. Перед записью ответа отметьте конечные нули у обоих множителей и сложите их количество.
Другая ошибка — прибавить нули к произведению: например, к 6 прибавить два нуля и получить 8 вместо 600. Нули в конце не являются слагаемыми, они меняют разряд числа. Проверьте себя, представив число как умножение на 10, 100 или 1000: 6 · 100 = 600.
Можно неверно перемножить ненулевые части, особенно если они двузначные. Например, в 20 · 30 надо получить 2 · 3 = 6, а не ошибочное произведение, после которого уже невозможно верно учесть нули. Сначала проверьте обычное умножение отдельно, а потом восстановите нули; при необходимости воспользуйтесь таблицей умножения.
Иногда круглое число принимают за число без нулей: например, считают 40 · 23 как 4 · 23 и получают 92. Это не учитывает, что 40 — четыре десятка, а не просто 4. После вычисления оцените ответ: четыре десятка по 23 — это 920, поэтому 92 слишком мало в десять раз.
Для этой темы нужны смысл умножения, названия компонентов действия, таблица умножения и умение читать многозначные числа по разрядам. Связь с разрядным составом видна в записи 700 = 7 · 100: круглое число представляется как произведение ненулевой части и разрядной единицы. Это пригодится при письменном умножении многозначных чисел и в задачах на стоимость, количество и расстояние, где часто встречаются десятки, сотни и тысячи.
Почему нули при умножении круглых чисел приписывают в конце?
Круглое число можно представить как произведение ненулевой части и разрядной единицы: например, 300 = 3 · 100. При умножении разрядные единицы дают нужное количество нулей, поэтому их записывают справа от произведения ненулевых частей.
Нужно ли считать нули в обоих множителях?
Да, если оба множителя круглые, учитывают конечные нули у каждого из них. Например, в 200 · 30 всего три таких нуля: два у 200 и один у 30.
Что делать, если произведение ненулевых частей тоже оканчивается нулём?
Этот ноль уже входит в результат умножения ненулевых частей, поэтому его нужно сохранить вместе с нулями множителей. Например, 20 · 50: сначала 2 · 5 = 10, затем справа приписывают ещё два нуля и получают 1000.
Как умножить круглое число на многозначное число?
Умножайте круглое число на каждое разрядное слагаемое многозначного числа или выполните умножение столбиком. Например, 40 · 23 = 40 · 20 + 40 · 3 = 800 + 120 = 920.
Как быстро проверить результат умножения круглых чисел?
Можно разделить произведение на один из множителей и проверить, получился ли второй. Также оцените число цифр: например, 200 · 30 должно быть около 6000, а не 600 или 60 000.
Урок 23. Умножение круглых чисел
