Урок 19. Как проверить умножение?

Определения и обозначения

Множители — числа, которые перемножают; в записи 6 · 4 = 24 это 6 и 4. Они показывают, какие числа участвуют в умножении. Чтобы проверить результат, нужно знать, какие именно множители были в исходном примере.

Произведение — результат умножения; в записи 6 · 4 = 24 это 24. Произведение связывает оба множителя: если известны оно и один множитель, можно найти другой. Поэтому при проверке умножения начинают с полученного результата.

Проверка умножения — способ убедиться, что произведение найдено верно, выполнив обратное действие. Она нужна, чтобы обнаружить ошибку до того, как использовать результат дальше. Проверка не означает, что надо просто повторить умножение: для неё применяют деление.

Деление — действие, обратное умножению: если 6 · 4 = 24, то 24 : 6 = 4 и 24 : 4 = 6. Оно помогает восстановить неизвестный множитель по произведению и другому множителю. Поэтому деление служит способом проверки умножения.

Как это устроено

Умножение объединяет два множителя в одно произведение, а деление помогает восстановить один множитель, если известны произведение и второй множитель. Именно поэтому эти действия называют обратными. Когда делишь произведение на известный множитель, ты как бы отменяешь его участие в умножении. Частное должно вернуть число, которое участвовало в исходном примере вместе с ним.

Проверим равенство 6 · 4 = 24. В нём произведение равно 24, а один из множителей — 6, поэтому вычислим 24 : 6. Получаем 4 — это второй множитель исходного примера. Совпадение подтверждает равенство, потому что деление вернуло число, которое должно было участвовать в умножении.

Проверку можно выполнить двумя способами, так как в умножении есть два множителя. Если разделить произведение на первый, получим второй; если разделить на второй, получим первый. Для 6 · 4 = 24 это проверки 24 : 6 = 4 и 24 : 4 = 6. Оба результата должны совпасть с соответствующими числами в исходном равенстве.

Правило подходит и для многозначных чисел, а не только для примеров из таблицы умножения. Сначала запиши найденное произведение, затем выбери один из исходных множителей и раздели на него произведение. Само деление выполни способом, который уже изучен: например, устно или столбиком. Такая проверка показывает, правильно ли найдено произведение, если деление тоже выполнено без ошибки.

Если частное не совпало с оставшимся множителем, равенство не прошло проверку. Причина может быть в ошибке умножения или в ошибке при проверочном делении, поэтому одного несовпадения недостаточно, чтобы сразу определить, где именно сбой. Повтори деление внимательно, а затем пересчитай произведение. Если деление верно, исправлять нужно вычисление умножения.

Как проверить умножение делением

Таблица показывает, на какой множитель делить произведение и какое число должно получиться. Выбери строку по тому, какой множитель известен для проверки. Затем сравни частное с другим множителем из исходного равенства.

Разбор задач

Задача 1. Проверь, верно ли равенство 7 · 5 = 35. Сначала определим, какое число здесь является произведением, а какие — множителями. Для проверки выберем деление на 7: частное должно совпасть с другим множителем, то есть с 5.

1. Записываем произведение: 35.
2. Делим его на первый множитель: 35 : 7 = 5.
3. Сравниваем частное 5 со вторым множителем 5.

Числа совпали, значит, равенство 7 · 5 = 35 верно. Мы проверили не повторным умножением, а обратным действием. Если бы частное оказалось другим, пришлось бы проверить и деление, и само умножение.

Задача 2. Ученик вычислил 24 · 3 = 72. Проверь вычисление двумя способами. Чтобы проверить оба множителя, сначала разделим произведение на 24, а затем — на 3. В каждом случае ожидаем получить второй множитель, не участвующий в делении.

1. Делим произведение на первый множитель: 72 : 24 = 3.
2. Сравниваем частное 3 со вторым множителем 3.
3. Делим произведение на второй множитель: 72 : 3 = 24.
4. Сравниваем частное 24 с первым множителем 24.

В обоих случаях частное совпало с оставшимся множителем, поэтому вычисление прошло проверку. Первый способ показывает, что деление на 24 возвращает число 3. Второй подтверждает результат с другой стороны: деление на 3 возвращает 24.

Задача 3. Проверь равенство 136 · 4 = 544 и выясни, где ошибка, если при делении 544 : 4 получилось 126. По исходному равенству частное должно быть равно первому множителю 136. Сначала сопоставим ожидаемый результат с полученным, а затем проверим, верно ли само деление.

1. Делим заявленное произведение на известный множитель: 544 : 4.
2. Сравниваем полученное частное 126 с множителем 136.
3. Проверяем деление: 544 : 4 = 136, значит, частное 126 найдено неверно.
4. Подтверждаем умножение: 136 · 4 = 544.

Равенство верное, а ошибка была в вычислении деления: правильное частное равно 136. Несовпадение с множителем сначала заставило нас усомниться в проверке, но повторное деление помогло найти причину. Если бы частное 126 получилось при верном делении, следовало бы пересчитать произведение.

Типичные ошибки

Иногда произведение делят на сумму множителей или на другое число, которое не было множителем исходного примера. Так происходит, если перепутать действия или не отметить множители при записи. Для проверки выбери именно один из множителей равенства, а затем убедись, что частное равно другому множителю.

Другая ошибка — ожидать, что частное будет равно тому же множителю, на который делили. Такое ожидание возникает, если забыть, что деление восстанавливает оставшуюся часть умножения. Например, при делении 24 на 6 должно получиться 4, а не 6. Сверь результат с множителем, который не использовался в делении.

Можно решить, что умножение проверено, хотя в проверочном делении допущена ошибка. Например, неверно вычисленное частное может случайно показаться подходящим или привести к неправильному выводу. Выполняй деление внимательно и, если есть сомнение, проверь его отдельно. Только после этого делай вывод об умножении.

Наконец, нельзя игнорировать несовпадение частного со вторым множителем и всё равно считать равенство верным. Иногда ученик замечает ошибку, но принимает её за мелочь или невнимательность. Остановись и проверь оба действия: повтори деление, а затем пересчитай произведение. Верным результат можно считать только после совпадения частного с нужным множителем.

Связь с другими темами

Для проверки умножения нужны знания таблицы умножения и деления, а также понимание терминов «множитель» и «произведение». Если таблица ещё не усвоена, проверь деление доступным способом и внимательно сверь частное с множителем. Умение различать числа в записи помогает не делить произведение на неподходящее число.

Этот способ пригодится при письменном умножении многозначных чисел: после вычисления можно проверить результат делением. Он также полезен в задачах на умножение, когда нужно убедиться, что ответ найден правильно. Значит, проверка связывает вычислительные приёмы с решением задач и помогает контролировать результат.

Что запомнить

• Деление — действие, обратное умножению.
• Чтобы проверить умножение, раздели произведение на один из множителей.
• Частное должно быть равно другому множителю.
• Проверку можно выполнить, разделив произведение на любой из двух множителей.
• Если частное не совпало со вторым множителем, вычисление нужно перепроверить.