Урок 20. Кратное сравнение

Определения и обозначения

Кратное сравнение — сравнение двух величин с помощью деления, которое показывает, во сколько раз одна величина больше или меньше другой. Например, сравнивая количество предметов в двух коробках, мы выясняем не разницу между количествами, а сколько раз одно количество содержится в другом. Этот способ нужен, когда вопрос начинается словами «во сколько раз?».

Выражение «во сколько раз больше» означает: сколько раз меньшая величина содержится в большей. Чтобы ответить, большее значение делят на меньшее. Такое правило помогает выбрать порядок деления и не получить обратное отношение.

Выражение «во сколько раз меньше» тоже приводит к частному большей и меньшей величин. Ответ формулируют относительно меньшего значения: например, одна длина может быть в 7 раз меньше другой. Это нужно, чтобы не принять сравнение за вычитание.

Отношение двух величин при кратном сравнении — частное от деления одной величины на другую. Оно показывает, как соотносятся сравниваемые значения, и обычно не имеет единицы измерения, если делят однородные величины. Понятие отношения пригодится при дальнейшем изучении задач на пропорции и масштаб.

Как это устроено

Деление используют потому, что оно показывает, сколько одинаковых частей одного размера помещается в другом количестве. Если в одной коробке 24 карандаша, а в другой 6, можно представить 24 карандаша как несколько групп по 6. Число таких групп и будет ответом на вопрос «во сколько раз?». Вычитание вместо этого сообщило бы, сколько карандашей составляет разница между коробками.

Чтобы определить порядок деления, сначала выясни, какое значение больше. При вопросе «во сколько раз больше» раздели большее значение на меньшее: тогда частное показывает, сколько раз меньшее помещается в большем. При вопросе «во сколько раз меньше» вычисляют такое же частное, но описывают результат со стороны меньшей величины. Например, если большая длина в 7 раз превосходит меньшую, то меньшая в 7 раз меньше большой.

Разностное сравнение отвечает на вопрос «на сколько больше или меньше», поэтому связано с вычитанием. Например, если было 12 предметов и 8 предметов, разность равна 4 предметам. Кратное сравнение для тех же количеств отвечает на вопрос «во сколько раз» и требует деления 12 на 8. Эти результаты отвечают на разные вопросы, поэтому их нельзя подменять друг другом.

В задаче сначала выдели величины, которые нужно сопоставить, и внимательно прочитай вопрос. Затем выбери большее и меньшее значения, выполни деление и проверь, что частное отвечает именно на вопрос задачи. Запиши ответ с пояснением: например, «в первой коробке карандашей в 4 раза больше». Такой порядок помогает не перепутать действие и направление сравнения.

Делить можно только однородные величины, то есть величины одного вида, выраженные в одинаковых единицах. Если длина одной ленты указана в метрах, а другой — в сантиметрах, сначала переведи их к одной единице. Иначе числа будут относиться к разным мерам, а частное окажется неверным. Например, 1 м и 20 см нужно сравнивать как 100 см и 20 см.

Кратное и разностное сравнение величин

Сначала найди в задаче слова «во сколько раз» или «на сколько»: они подсказывают действие. Затем проверь, какие значения больше и меньше, а для величин с разными единицами сначала выполни перевод. В третьем столбце можно проверить, подходит ли найденный результат к вопросу.

Разбор задач

В одной коробке 24 карандаша, а в другой 6 карандашей. Нужно узнать, во сколько раз в первой коробке карандашей больше, чем во второй. Сравниваемые величины однородны: в обеих коробках считают карандаши, поэтому перевод единиц не требуется. Так как спрашивают «во сколько раз», выбираем деление, а не вычитание.

1. Сравниваем количества 24 и 6 карандашей.
2. Находим большее значение: 24 карандаша; меньшее — 6 карандашей.
3. Делим большее количество на меньшее: 24 : 6 = 4.
4. Проверяем смысл: в 24 карандашах помещаются четыре группы по 6 карандашей.

Ответ: в первой коробке карандашей в 4 раза больше, чем во второй.

Длина ленты 35 см, а длина шнура 5 см. Вопрос «во сколько раз шнур короче ленты» означает кратное сравнение, хотя в условии говорится о меньшей величине. Вычитать 5 из 35 не нужно: разность показала бы, на сколько сантиметров шнур короче. Обе длины выражены в сантиметрах, значит, их можно сразу делить.

1. Определяем большую длину: лента — 35 см; меньшую: шнур — 5 см.
2. Для вопроса «во сколько раз меньше» делим большее значение на меньшее.
3. Вычисляем: 35 : 5 = 7.
4. Формулируем результат относительно шнура: его длина составляет одну седьмую длины ленты.

Ответ: шнур в 7 раз короче ленты.

В первой библиотеке 48 книг, а во второй 3 десятка книг. Нужно узнать, во сколько раз в первой библиотеке книг больше. До сравнения переведём 3 десятка в число книг: в одном десятке 10 единиц, значит, 3 десятка — это 30 книг. После перевода обе величины выражены в одинаковых единицах и готовы к делению.

1. Записываем количество книг во второй библиотеке: 3 · 10 = 30 книг.
2. Сравниваем 48 книг и 30 книг; большее значение — 48, меньшее — 30.
3. Выполняем деление: 48 : 30 = 1,6.
4. Проверяем результат: 48 действительно больше 30, поэтому частное больше 1.

Ответ: в первой библиотеке книг в 1,6 раза больше, чем во второй.

Типичные ошибки

Вместо деления иногда выполняют вычитание, потому что путают вопросы «на сколько» и «во сколько раз». Вычитание даёт разницу, а деление — число раз, поэтому один результат не заменяет другой. Проверь себя: подчеркни слова в вопросе и назови действие до вычислений. «На сколько?» означает вычитание, «во сколько раз?» — деление.

При вопросе о том, во сколько раз первая величина больше второй, можно ошибочно разделить меньшую на большую. Тогда получится обратное отношение: частное меньше 1 и не отвечает на вопрос, сколько раз вторая величина содержится в первой. Сначала подпиши значения «большее» и «меньшее», а затем раздели большее на меньшее. При сравнении большей величины частное должно быть не меньше 1.

Ещё одна ошибка — сравнивать числа, записанные в разных единицах, например метры и сантиметры. Причина в том, что числовые записи принимают за готовые значения, не учитывая размер единицы. Перед делением переведи обе величины в одинаковые единицы и проверь подписи. Например, сравнивай 1 м и 20 см как 100 см и 20 см.

Некоторые записывают только число или говорят «больше на несколько раз». В первом случае непонятно, что показывает частное, а во втором смешиваются кратное и разностное сравнение. В ответе назови обе сравниваемые величины и укажи, во сколько раз одна больше или меньше другой. Для самопроверки сопоставь формулировку ответа с вопросом задачи.

Связь с другими темами

Для кратного сравнения нужны таблица умножения и деления, понимание смысла частного, умение сравнивать числа и переводить величины в одинаковые единицы. Отношения используются дальше при решении задач на масштаб, скорость, цену и производительность. При изучении пропорций кратное отношение поможет составить равенство отношений и найти неизвестную величину. Поэтому важно понимать не только вычисление, но и смысл полученного частного.

Что запомнить

• Кратное сравнение отвечает на вопрос «во сколько раз?»
• Для кратного сравнения используют деление.
• При сравнении сначала приводят величины к одинаковым единицам.
• Чтобы узнать, во сколько раз больше, большее значение делят на меньшее.
• Вопрос «на сколько» решают вычитанием, а вопрос «во сколько раз» — делением.
• В ответе нужно указать, во сколько раз одна величина больше или меньше другой.