"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Кратное сравнение помогает узнать, во сколько раз различаются два числа или две величины. Для этого большее значение делят на меньшее: частное показывает, сколько раз меньшая величина укладывается в большей. Такой способ нужен, когда в задаче спрашивают «во сколько раз», а не «на сколько». Перед вычислением важно проверить, что сравниваемые величины выражены в одинаковых единицах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кратное сравнение — сравнение двух чисел или величин делением; оно показывает, во сколько раз одно больше или меньше другого. Иными словами, мы узнаём не разницу между значениями, а их отношение. Это помогает выбирать действие в задачах, где спрашивают о числе раз.
Вопрос «во сколько раз больше» означает: сколько раз меньшее число содержится в большем. Чтобы ответить, большее число делят на меньшее. Например, 12 : 3 = 4, значит, 12 больше 3 в 4 раза. Это правило позволяет перевести словесный вопрос в действие.
Вопрос «во сколько раз меньше» также относится к сравнению двух значений, а не к поиску разности. Чтобы узнать, во сколько раз меньшее число меньше большего, большее делят на меньшее. Например, если сравнивают 3 и 12, вычисляют 12 : 3. Такое понимание помогает не менять порядок деления из-за слова «меньше».
Частное чисел — результат деления одного числа на другое. При кратном сравнении оно показывает, во сколько раз различаются сравниваемые числа. Частное 4 означает, что меньшая величина укладывается в большей четыре раза. Поэтому ответ выражают словами «в 4 раза», а не единицами измерения.
Разностное и кратное сравнение отвечают на разные вопросы. Если спрашивают «на сколько», требуется узнать, сколько единиц составляет разница, поэтому находят разность. Если спрашивают «во сколько раз», нужно выяснить, сколько раз одно значение содержится в другом, поэтому находят частное. Выбор действия определяется смыслом вопроса, а не только тем, какие числа даны.
При кратном сравнении большее число делят на меньшее, потому что деление показывает, сколько равных частей одного размера укладывается в целом. Если в большем значении можно разместить несколько меньших, частное как раз и считает это количество. Например, 18 : 6 = 3: в 18 три раза содержится по 6. Деление в обратном порядке не отвечает на вопрос, сколько раз меньшее помещается в большем.
Чтобы определить порядок деления, сначала назови сравниваемые значения и найди среди них большее. Затем проверь формулировку: «во сколько раз больше» или «во сколько раз меньше» — в обоих случаях сравнивают делением большего на меньшее. Делимое при таком сравнении не должно быть меньше делителя: иначе полученное число меньше единицы и оно не показывает, сколько раз меньшее значение содержится в большем. После вычисления перечитай вопрос и проверь, что ответ дан именно в разах.
Результат нужно толковать как отношение двух значений. Если частное равно 4, значит, одна величина в четыре раза больше другой; одновременно меньшая величина в четыре раза меньше большей. Это не означает, что значения различаются на 4 единицы: разность нужно было бы находить вычитанием. Поэтому к числу-ответу добавляют слова «в … раз», а не название единицы измерения.
Делить можно только значения, выраженные в одинаковых единицах измерения. Иначе запись вроде 2 м : 50 см смешивает метры с сантиметрами, и результат нельзя правильно прочитать. Перед делением переведи обе величины в метры или обе в сантиметры, а затем вычисляй. После такого перевода единицы сокращаются, и частное показывает безразмерное число раз.
| Что спрашивают | Как найти | Что показывает результат | Пример: 12 и 3 |
|---|---|---|---|
| На сколько одно число больше другого | Из большего вычесть меньшее | На сколько единиц числа различаются | 12 − 3 = 9: 12 больше 3 на 9 |
| Во сколько раз одно число больше другого | Большее число разделить на меньшее | Сколько раз меньшее число содержится в большем | 12 : 3 = 4: 12 больше 3 в 4 раза |
Сначала найди в вопросе слова «на сколько» или «во сколько раз». Затем выбери действие по соответствующей строке таблицы и истолкуй результат нужными словами. В примере числа 12 и 3 дают разные ответы, потому что вычитание и деление отвечают на разные вопросы.
Задача 1. В одной коробке 18 карандашей, в другой — 6. Во сколько раз в первой коробке карандашей больше? Здесь сравниваются количества одинаковых предметов, поэтому переводить единицы не нужно. Слова «во сколько раз» подсказывают, что понадобится деление.
Ответ: в первой коробке карандашей в 3 раза больше. Если бы спрашивали, на сколько карандашей больше, пришлось бы вычитать: 18 − 6 = 12. Это другой вопрос и другой способ сравнения.
Задача 2. Длина ленты 2 м, а длина шнура 50 см. Во сколько раз лента длиннее шнура? Лента длиннее, но значения записаны в разных единицах. Сначала приведём длины к одинаковым единицам, чтобы частное имело правильный смысл.
Ответ: лента в 4 раза длиннее шнура. Нельзя просто делить запись 2 на 50, потому что числа относятся к разным единицам. После перевода обе длины выражены в сантиметрах.
Задача 3. На первой полке 24 книги, а на второй в 3 раза меньше. Сколько книг на второй полке и сколько книг на обеих полках? Здесь выражение «в 3 раза меньше» описывает кратное уменьшение. Значит, число книг на первой полке нужно разделить на 3, а не вычесть 3.
Ответ: на второй полке 8 книг, всего на двух полках 32 книги. Сначала мы нашли неизвестное количество по отношению, а затем ответили на вопрос о сумме. Такая последовательность помогает не перепутать вычисления.
Первая ошибка — вычесть числа, хотя спрашивают «во сколько раз». Её допускают, потому что и вычитание, и деление сравнивают два значения, но отвечают на разные вопросы. Проверь формулировку: «на сколько» требует разности, а «во сколько раз» — частного. Например, для 12 и 3 ответы будут 9 единиц и 4 раза.
Вторая ошибка — разделить меньшее число на большее, чтобы узнать, во сколько раз больше первое значение. Так получается число меньше единицы, которое не показывает, сколько раз меньшее содержится в большем. Найди сначала большее число и поставь его делимым. Затем проверь, что частное соответствует вопросу и что делимое не меньше делителя.
Третья ошибка — понять выражение «в 3 раза меньше» как вычитание числа 3. Такое прочтение смешивает кратное и разностное сравнение: уменьшение в несколько раз находят делением. Если было 24, то значение, которое в 3 раза меньше, равно 24 : 3 = 8. Проверить ответ можно обратным сравнением: 24 : 8 = 3.
Четвёртая ошибка — делить величины, записанные в разных единицах. Например, метры нельзя сразу делить на сантиметры, потому что числа относятся к разным меркам. Перед вычислением переведи обе величины в одну единицу и только потом дели. Для проверки оцени результат: он должен показывать отношение длин, а не зависеть от того, в каких единицах они были записаны.
Чтобы выполнять кратное сравнение, нужно понимать деление и смысл частного, а также уметь делить натуральные числа. Эти знания позволяют не только вычислить результат, но и объяснить, что он показывает. Полезно различать деление как действие и частное как полученный ответ.
При сравнении длин, масс, времени и других величин важно уметь переводить единицы измерения. Только одинаковые единицы позволяют корректно найти отношение значений делением. Этот навык понадобится и в задачах, где единицы сначала требуется привести к общему виду.
Кратное сравнение встречается в задачах на отношения величин, масштаб и пропорциональные зависимости. Во всех таких случаях важно понять, какое значение с каким сравнивают и что означает полученное частное. Умение связывать вычисление с условием помогает решать более сложные задачи.
Чем кратное сравнение отличается от разностного?
При разностном сравнении находят разность: на сколько единиц одно число больше другого. При кратном находят частное и узнают, во сколько раз числа различаются.
Как понять, какое число делить на какое?
Чтобы узнать, во сколько раз числа различаются, большее делят на меньшее. Так частное показывает, сколько раз меньшее число содержится в большем.
Почему при вопросе «во сколько раз меньше» тоже делят большее на меньшее?
Формулировка говорит о сравнении величин, а не о вычитании некоторого количества. Частное большего и меньшего показывает, во сколько раз меньшая величина уступает большей.
Что означает ответ 5 при кратном сравнении?
Это означает, что большее число в 5 раз больше меньшего. Иначе говоря, меньшее число содержится в большем пять раз.
Можно ли сравнивать делением величины в разных единицах?
Сначала нужно привести их к одинаковым единицам измерения. Например, метры и сантиметры нельзя сразу делить друг на друга.
Урок 21. Кратное сравнение
