Урок 22. Кратное сравнение

Определения и обозначения

Кратное сравнение — сравнение двух чисел с помощью деления: оно показывает, во сколько раз одно число больше или меньше другого. Например, если 12 разделить на 4, получится 3: число 12 больше 4 в 3 раза. Этот способ нужен, когда спрашивают не о разнице между числами, а о том, сколько раз одно из них содержится в другом.

«Во сколько раз больше» — чтобы узнать, во сколько раз большее число превышает меньшее, большее число делят на меньшее. Например, для чисел 15 и 5 вычисляют 15 : 5 = 3. Так находят число раз, которое связывает меньшее значение с большим.

«Во сколько раз меньше» — чтобы узнать, во сколько раз меньше одно число другого, большее число делят на меньшее. Например, 5 меньше 15 в 3 раза, потому что 15 : 5 = 3. Порядок деления помогает не перепутать вопрос о числе раз с поиском разности.

Отношение чисел — частное двух чисел; оно показывает, во сколько раз первое число больше второго, если делитель не равен нулю. Например, отношение 20 к 4 равно 20 : 4 = 5. Это понятие удобно, когда нужно выразить кратное сравнение чисел или величин одним числом.

Как это устроено

Числа можно сравнить разностью или частным: разность показывает, на сколько одно число больше другого, а частное — во сколько раз. Это разные вопросы, поэтому для них нужны разные действия. Если сравнить 14 и 7 вычитанием, получится 7 единиц разницы; деление 14 : 7 покажет, что одно число содержится в другом два раза. Перед вычислением полезно определить, спрашивают ли о количестве единиц между числами или о числе раз.

Для кратного сравнения нужно разделить большее число на меньшее; результат показывает искомое число раз. Это работает потому, что деление отвечает на вопрос, сколько раз делитель помещается в делимом. Например, если в большем количестве можно составить несколько групп, равных меньшему количеству, частное и будет числом таких групп. При делении на ноль ответ не определён, поэтому меньшее число в сравнении должно быть отличным от нуля.

Если спрашивают, во сколько раз меньше одно число, деление выполняют в том же порядке: большее делят на меньшее. Например, 4 меньше 20 в 5 раз, потому что 20 : 4 = 5. Это не означает, что нужно разделить 4 на 20: такое частное не показывает, сколько раз меньшее значение укладывается в большее. Нужно сначала назвать оба числа и выбрать из них большее и меньшее.

Кратное сравнение можно проверить умножением: меньшее число, умноженное на найденное частное, должно дать большее число. Например, если при делении 21 на 7 получилось 3, проверяем: 7 · 3 = 21. Проверка возвращает нас от меньшего значения к большему и помогает заметить ошибку в делении или выборе чисел. Если произведение не совпало с большим числом, нужно пересмотреть вычисление.

При сравнении величин сначала нужно выразить их в одинаковых единицах, а затем разделить большее значение на меньшее. Иначе деление чисел может дать неверный ответ, потому что сантиметр и метр — разные единицы. Например, перед сравнением 2 м и 50 см переведём метры в сантиметры: 2 м = 200 см. Теперь можно вычислить 200 : 50 и получить корректное число раз.

Как сравнить числа и величины

Пользуйся таблицей как подсказкой: сначала найди в левом столбце вопрос задачи, затем выбери действие. Для вопроса «на сколько?» нужна разность, а для вопроса «во сколько раз?» — частное. В последних двух строках действие одинаковое, меняется только то, как словами описывают полученное отношение.

Разбор задач

Карандаши в коробках

В одной коробке 6 карандашей, а в другой 18. Нужно узнать, во сколько раз во второй коробке карандашей больше. Вопрос «во сколько раз?» подсказывает, что надо сравнить количества делением, а не вычитанием. Во второй коробке карандашей больше, поэтому именно 18 будет делимым.

1. Определяем большее и меньшее количества: 18 карандашей и 6 карандашей.
2. Делим большее количество на меньшее: 18 : 6 = 3.
3. Проверяем умножением: 6 · 3 = 18, значит, вычисление верное.

Ответ: во второй коробке карандашей в 3 раза больше. Частное показывает, сколько раз количество из первой коробки укладывается в количестве из второй. Если бы в задаче спросили, на сколько карандашей больше, нужно было бы найти разность 18 − 6.

Длина лент

Длина одной ленты 24 см, а другой — 8 см. Нужно узнать и на сколько сантиметров одна лента длиннее, и во сколько раз она длиннее. Здесь заданы два разных вопроса, поэтому одного действия недостаточно. Сначала найдём разницу в сантиметрах, затем сравним длины делением.

1. Находим разность: 24 − 8 = 16 см. Она показывает, насколько одна лента длиннее другой.
2. Находим частное: 24 : 8 = 3. Оно показывает, во сколько раз длина 24 см больше длины 8 см.
3. Проверяем кратное сравнение: 8 · 3 = 24 см. Значит, полученное число раз подходит.

Ответ: одна лента длиннее другой на 16 см и в 3 раза. Разность и частное описывают разные стороны сравнения, поэтому ответы не заменяют друг друга. Важно подписывать единицы у разности, а для частного называть число раз.

Покупка тетрадей

За 3 одинаковые тетради заплатили 90 рублей. Нужно узнать, сколько таких тетрадей можно купить на 240 рублей. Сначала найдём цену одной тетради, поскольку без неё нельзя определить, сколько тетрадей помещается в сумму 240 рублей. Затем используем деление ещё раз, чтобы сравнить имеющиеся деньги с ценой одной тетради.

1. Находим цену одной тетради: 90 : 3 = 30 рублей. Делим общую стоимость на число тетрадей.
2. Делим имеющуюся сумму на цену одной тетради: 240 : 30 = 8. Получаем количество тетрадей, которое можно купить.
3. Проверяем: 8 · 30 = 240 рублей. Значит, на эту сумму можно оплатить именно 8 тетрадей.

Ответ: на 240 рублей можно купить 8 тетрадей. Решение состоит из двух действий: первое находит цену одной вещи, а второе — количество вещей. Второе деление можно понимать как выяснение, во сколько раз сумма 240 рублей больше цены 30 рублей.

Типичные ошибки

Вычитать числа, когда спрашивают «во сколько раз», — значит отвечать на другой вопрос. Эту ошибку допускают, потому что при любом сравнении первым делом хочется найти разницу между числами. Проверь себя по формулировке: «на сколько?» требует вычитания, а «во сколько раз?» — деления большего на меньшее. Например, разность 18 и 6 равна 12, но число раз равно 3.

Делить меньшее число на большее для определения числа раз — неверно: нужно найти, сколько раз меньшее значение содержится в большем. Иногда числа в условии выписывают в том же порядке и автоматически делят первое на второе. Перед вычислением подпиши, какое число больше; затем проверь, что меньшее, умноженное на частное, даёт большее. Так легко заметить неподходящий порядок.

При вопросе «во сколько раз меньше» не нужно менять порядок деления и делить меньшее на большее. Ошибку вызывает слово «меньше»: кажется, что и в действии меньшим должно быть первое число. На деле сравнивают те же значения и получают то же частное, только ответ формулируют со стороны меньшего числа. Проверь рассуждение примером: 6 меньше 18 в 3 раза, потому что 18 : 6 = 3.

Делить величины, выраженные в разных единицах, нельзя, пока их не привели к одинаковым единицам. Например, числа 2 и 50 в записи «2 м и 50 см» сами по себе не дают правильного отношения, потому что единицы за ними разные. Переведи одну величину в единицы другой, например 2 м в 200 см, и только потом дели. Проверка здравым смыслом тоже полезна: 2 м больше 50 см в 4 раза, а не в 25 раз.

Связь с другими темами

Для кратного сравнения нужно уметь делить и различать вопросы «на сколько?» и «во сколько раз?». Эти умения связаны: деление находит отношение значений, а вычитание — их разность. Если деление ещё вызывает затруднение, полезно сначала проверить таблицу умножения и вспомнить связь деления с умножением. Тогда и выбор действия в текстовой задаче становится понятнее.

Кратное сравнение встречается в задачах на отношения величин, скорости, цены и количества. Например, можно сопоставить расстояния, цены одинаковых товаров или число предметов в группах. Сравниваемые величины должны быть выражены в согласованных единицах, а смысл результата нужно связывать с условием. Поэтому после вычисления важно записать не только число, но и ответ словами.

Что запомнить

• Разность показывает, на сколько числа отличаются.
• Частное показывает, во сколько раз одно число больше другого.
• Чтобы узнать, во сколько раз больше, большее число делят на меньшее.
• Чтобы узнать, во сколько раз меньше, большее число также делят на меньшее.
• Проверить результат можно умножением.
• Перед сравнением величин нужно выразить их в одинаковых единицах.