"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Круглые числа оканчиваются нулями: 20, 400, 7000. Чтобы умножить их быстро и без ошибок, сначала перемножают части чисел без конечных нулей, а затем приписывают к ответу все учтённые нули. Такой приём упрощает устные и письменные вычисления, помогает работать с большими числами, деньгами и величинами. Главное правило: количество нулей в произведении равно сумме конечных нулей в обоих множителях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Круглое число — натуральное число, запись которого оканчивается одним или несколькими нулями: 40, 500, 12 000. Конечными называют только нули в самом конце записи. Это определение помогает понять, какие цифры нужно учитывать отдельно при вычислениях.
Множители — числа, которые перемножают, например 30 и 4 в записи 30 · 4. В примерах с круглыми числами у каждого множителя отдельно считают конечные нули. Так легче не потерять часть произведения.
Умножение круглых чисел — способ нахождения произведения чисел, оканчивающихся нулями, через умножение чисел без этих нулей. Сначала работают с ненулевыми частями, а потом восстанавливают запись ответа. Это сокращает вычисления и делает их понятнее.
Произведение круглых чисел — результат умножения, в котором сохранены все нули, учтённые у множителей. Например, произведение 40 и 70 равно 2800. По числу конечных нулей можно дополнительно проверить, не пропущен ли разряд.
Конечный ноль показывает умножение на 10: 30 = 3 · 10, а 400 = 4 · 100. Поэтому при умножении 30 · 4 можно сначала найти 3 · 4, а затем умножить результат на 10. Ноль не исчезает, а временно записывается отдельно как множитель 10.
Если нулей несколько, каждый из них означает ещё один множитель 10. Например, 2400 = 24 · 100, то есть 24 · 10 · 10. Благодаря этому достаточно умножить 24 на другую часть, а затем учесть два множителя 10.
У двух круглых множителей такие множители 10 складываются. В записи 40 · 70 есть один ноль у 40 и один у 70, значит, всего два множителя 10: 40 · 70 = 4 · 7 · 10 · 10. Поэтому к числу 28 приписывают два нуля и получают 2800.
Чтобы восстановить произведение, сначала запишите результат умножения ненулевых частей, а затем добавьте все конечные нули. Нельзя приписывать нули только одного множителя, потому что второй тоже влияет на разрядность ответа. После этого полезно проверить, что каждый исходный конечный ноль учтён ровно один раз.
Если один множитель не круглый, правило всё равно работает: нули считаются только у круглого множителя. При умножении на 10, 100 или 1000 ненулевая часть второго множителя равна 1, поэтому к исходному числу просто приписывают один, два или три нуля. Например, 56 · 100 = 5600.
| Вид примера | Действие с нулями | Умножение чисел без нулей | Количество нулей в ответе | Результат |
|---|---|---|---|---|
| Круглое число умножается на однозначное число | Убрать конечные нули круглого множителя | Умножить оставшуюся часть на однозначное число | Равно числу нулей круглого множителя | Например, 30 · 4 = 120 |
| Два круглых числа с одним конечным нулём | Убрать по одному нулю | Перемножить две оставшиеся цифры или части | Два | 40 · 70 = 2800 |
| Два круглых числа с несколькими конечными нулями | Убрать все конечные нули обоих множителей | Перемножить оставшиеся части | Сумма всех убранных нулей | 2400 · 300 = 720000 |
| Умножение числа на 10, 100 или 1000 | Приписать к числу один, два или три нуля | Дополнительное умножение не требуется | Один, два или три | 56 · 100 = 5600 |
Сначала найдите строку, которая подходит к примеру, затем посчитайте конечные нули в множителях. После умножения ненулевых частей сравните число нулей в ответе с данными таблицы. Так таблица помогает не только выполнить действие, но и проверить его.
Задача 1. Вычислить: 30 · 4. В первом множителе один конечный ноль, а второй множитель нулей не содержит. Значит, нужно умножить 3 на 4 и вернуть один ноль.
Ответ: 30 · 4 = 120. В результате сохранился один конечный ноль, который был у круглого множителя.
Задача 2. Вычислить: 40 · 70. Оба множителя круглые, и в каждом по одному конечному нулю. Поэтому после умножения 4 на 7 нужно вернуть не один, а два нуля.
Ответ: 40 · 70 = 2800. Ошибка в один ноль дала бы число 280, которое слишком мало: два множителя, каждый примерно в десять раз больше своей ненулевой части.
Задача 3. Вычислить: 2 400 · 300. В числе 2400 два конечных нуля, а в числе 300 два конечных нуля. Сначала умножаем 24 на 3, а затем возвращаем четыре нуля.
Ответ: 2 400 · 300 = 720 000. Проверка по разрядам подтверждает результат: умножение на 2400 и на 300 должно дать число, значительно превышающее 72.
Приписывание только нулей второго множителя. Например, в 40 · 70 ученик может приписать один ноль и получить 280. Ошибка возникает, когда нули первого множителя забывают считать; проверьте себя сложением количеств нулей у обоих множителей.
Счёт нуля внутри числа как конечного. В числе 1050 ноль между 1 и 5 не находится в конце, поэтому его нельзя добавлять к результату отдельно. Чтобы проверить себя, смотрите только на непрерывную группу нулей справа.
Потеря нуля при переписывании. После вычисления 24 · 3 = 72 ученик может записать 72000 вместо 720000. Пересчитайте нули пальцем или отметьте каждый ноль, снятый с множителей.
Ошибка в умножении оставшихся частей. При устном счёте легко перепутать, например, 24 · 3 и 24 + 3. Выполните обратную проверку или разложите число: 24 · 3 = 20 · 3 + 4 · 3 = 72.
До этой темы нужно знать разрядный состав многозначных чисел, таблицу умножения и правило умножения на 10, 100 и 1000. Эти знания объясняют, откуда берутся конечные нули и почему их можно временно отделять. Без уверенного счёта нулей легко ошибиться в разрядности.
Умножение круглых чисел продолжает изучение письменного и устного умножения многозначных чисел. Приём помогает сократить запись, но не заменяет понимание разрядов. Позже он пригодится при вычислениях с большими числами.
Правило используется в задачах на стоимость, количество и величины. Например, если одна вещь стоит 300 рублей, стоимость 20 таких вещей можно быстро найти умножением 300 · 20. Поэтому навык полезен в денежных расчётах и повседневных ситуациях.
Почему нули можно временно не учитывать при умножении?
Ноль в конце числа показывает, что число умножено на 10, 100, 1000 и так далее. Поэтому 30 · 4 можно представить как 3 · 4 · 10: сначала находят 12, а затем умножают его на 10 и получают 120.
Сколько нулей нужно приписать к результату?
Нужно сложить количество конечных нулей в обоих множителях. Например, в 2400 два нуля, а в 300 два нуля, значит, к результату умножения 24 · 3 нужно приписать четыре нуля.
Что делать, если ноль находится не в конце числа?
Такой ноль не считают конечным и отдельно не приписывают. Например, в числе 1050 один ноль находится внутри записи, а один — в конце, поэтому учитывается только последний.
Как умножать круглое число на однозначное число?
У круглого множителя временно убирают конечные нули, умножают оставшуюся часть на однозначное число и возвращают убранные нули. Например, 60 · 7 = 6 · 7 · 10 = 420.
Как проверить правильность результата?
Пересчитайте конечные нули обоих множителей и проверьте, столько ли нулей получилось в ответе. Затем отдельно перепроверьте умножение частей без нулей и оцените разрядность результата.
Урок 25. Умножение круглых чисел
