Урок 4. Ломаная и её имя

Определения и обозначения

Ломаная — фигура, состоящая из последовательно соединённых отрезков. Слово «последовательно» означает, что конец одного отрезка совпадает с концом следующего. Отдельные отрезки вместе образуют одну фигуру, а не просто набор линий. Это определение помогает проверить, действительно ли перед нами ломаная.

Звено ломаной — каждый отрезок, входящий в её состав. Например, если ломаная проходит через точки A, B и C, её звенья — AB и BC. Звеньями удобно называть части фигуры и указывать, какие точки соединены напрямую. Запись пары букв обозначает именно отрезок между этими точками.

Вершина ломаной — общая точка двух соседних звеньев или конец ломаной. В точке B звенья AB и BC соединяются, поэтому B — вершина; точки A и C тоже являются вершинами, поскольку это концы данной ломаной. Вершины помогают описывать порядок прохождения фигуры. Не каждая отмеченная рядом точка становится вершиной: она должна быть концом или точкой соединения звеньев.

Имя ломаной — последовательность имён её вершин, записанных по порядку. Так, ABCD означает путь от A через B и C к D, а соседние буквы показывают звенья. Имя нужно, чтобы однозначно сообщить, какую ломаную рассматривают. Записывать буквы следует по фактическому соединению точек, а не по их алфавитному порядку.

Как это устроено

Чтобы получить ломаную, сначала берут несколько отрезков и соединяют их концами так, чтобы конец одного совпал с началом следующего. Поэтому при переходе от одного звена к следующему не возникает разрыва: фигура читается как единый путь. Например, соединив AB, BC и CD, получают путь из A через B и C в D. Если отрезки только лежат рядом, но их концы не совпадают, они не образуют такую ломаную.

Соседними называют звенья, которые идут одно за другим в пути. Они имеют общую вершину, потому что именно в ней заканчивается одно звено и начинается следующее: у AB и BC это точка B. Несоседние звенья не соединяются непосредственно, иначе в описанной последовательности появился бы дополнительный переход. Поэтому для пути ABCD звенья AB и CD не становятся соседними только оттого, что могут пересечься или оказаться близко на чертеже; их связь определяется порядком ломаной.

Имя составляют, начиная с любого конца незамкнутой ломаной и записывая вершины одну за другой. Такой порядок выбран не произвольно: каждая пара соседних букв должна обозначать настоящее звено. Если пройти ту же фигуру в обратную сторону, получится обратная запись, например ABCD и DCBA. Это одна ломаная, потому что набор звеньев не изменился, изменилось лишь направление обхода.

У незамкнутой ломаной с каждой новой вершиной после первой появляется одно звено, соединяющее её с предыдущей. Поэтому при n вершинах звеньев n − 1: пять вершин A, B, C, D, E дают AB, BC, CD, DE — всего четыре звена. Первую вершину не нужно соединять с какой-либо предыдущей, потому что до неё путь ещё не проходил. Это и объясняет, почему звеньев на одно меньше, чем вершин.

У незамкнутой ломаной есть два разных конца, а у замкнутой путь возвращается в начальную точку. Например, последовательность отрезков AB, BC, CD, DA приводит обратно в A, поэтому ломаная ABCDA замкнута. Последняя буква A повторяет первую не как новая точка, а как обозначение возвращения к началу. В незамкнутой ABCD конечная точка D не совпадает с начальной A, поэтому путь остаётся открытым.

На координатной сетке точки примера расположены в порядке (0; 0), (2; 1), (4; 0), (5; 2); соединять их нужно именно по очереди. Каждое соседство точек задаёт звено, а точки стыка — вершины. По такому чертежу можно проследить путь, но имя всё равно определяется последовательностью соединения. Направление записи разрешено поменять только на обратное, не меняя сам порядок соседних звеньев.

Схема показывает пример последовательного соединения точек: отметь каждую точку стыка как вершину, а участок между соседними точками — как звено.

Ломаная и её элементы

В таблице собраны признаки, по которым описывают ломаную. Чтобы ей пользоваться, сначала прочитай вершины в порядке соединения, затем выпиши пары соседних букв — это будут звенья. После этого проверь число вершин и звеньев и выясни, совпадают ли начало и конец.

Разбор задач

Задача 1. Даны последовательно соединённые точки A, B, C и D. Назовите полученную ломаную и перечислите её звенья. Нужно прочитать точки именно в том порядке, в котором они соединены. Каждая пара соседних точек задаёт один отрезок.

1. Записываем вершины по пути: A, B, C, D. Получаем имя ABCD.
2. Выписываем пары соседних букв: AB, BC и CD. Других звеньев нет, потому что напрямую соединены только соседние точки.
3. Проверяем, что имя включает все вершины и что число звеньев на одно меньше: четыре вершины и три звена.

Ответ: ломаная ABCD; её звенья — AB, BC, CD.

Задача 2. Ломаная имеет вершины K, L, M, N, P. Сколько у неё звеньев? Запишите все звенья и назовите ломаную в обратном порядке. Сначала определим, что в имени задан порядок прохождения вершин. Затем применим правило для незамкнутой ломаной и отдельно проверим обратную запись.

1. Вершин пять, поэтому звеньев на одно меньше: 5 − 1 = 4.
2. Записываем пары соседних вершин: KL, LM, MN, NP. Это все звенья, поскольку между другими парами соседних букв в исходном порядке нет.
3. Чтобы назвать фигуру в обратном направлении, читаем тот же список вершин с конца: P, N, M, L, K. Получаем имя PNM LK без пробелов: PNMLK.

Ответ: четыре звена KL, LM, MN, NP; обратное имя — PNMLK.

Задача 3. Из отрезков AB, BC, CD и DA составлена фигура. Определите, замкнута ли она, назовите её и сравните с ломаной ABCD. Для этого нужно проследить путь, не ограничиваясь числом отрезков. Главная проверка — куда приводит последнее звено.

1. Начинаем в A и идём по звеньям AB, BC, CD, DA. После последнего отрезка снова оказываемся в A, значит, начало и конец совпали.
2. Записываем вершины по порядку, включая повтор начальной точки в конце: ABCDA. Это обозначает замкнутую ломаную.
3. У ABCD путь заканчивается в D и не возвращается в A. Поэтому ABCD — незамкнутая ломаная, хотя первые три звена у фигур совпадают.

Ответ: ABCDA — замкнутая ломаная; ABCD — незамкнутая, так как её концы A и D различны.

Типичные ошибки

Первая ошибка — записать вершины не по порядку соединения, например выбрать буквы по алфавиту. Так делают, потому что название кажется просто набором букв, но соседние буквы в нём обозначают звенья. Проверка простая: прочитай каждую пару подряд и убедись, что соответствующий отрезок есть в фигуре. Если хотя бы одна пара не соединена, имя записано неверно.

Вторая ошибка — считать вершиной любую отмеченную точку рядом с чертежом. Вершины ломаной — только точки соединения соседних звеньев и её концы, а точка, не лежащая на пути, к ней не относится. Ошибку допускают, когда ориентируются на все подписи на рисунке, а не на отрезки. Проследи путь от одного конца до другого и отмечай только его стыки и концы.

Третья ошибка — путать звено и вершину. Звено является отрезком, а вершина — точкой; названия иногда смешивают, потому что они описывают части одной фигуры. Для самопроверки спроси себя, можно ли измерить предмет линейкой как отрезок или указать его как место соединения. Например, AB — звено, а B — вершина между AB и BC.

Четвёртая ошибка — назвать замкнутую ломаную незамкнутой или посчитать повтор начальной буквы новой вершиной. Это происходит, если при записи забыть проверить последнее звено. Проведи путь по буквам до конца: если он возвращается в первую точку, ломаная замкнута, а повтор буквы показывает возвращение. Если конечная точка другая, ломаная незамкнутая.

Связь с другими темами

Для работы с ломаной нужны понятия точки и отрезка, знание их концов и умение обозначать точки заглавными буквами. Если эти обозначения понятны, можно читать имя фигуры и находить её звенья. Сначала полезно убедиться, что отрезки соединены концами, а не просто нарисованы рядом.

Ломаные станут основой для изучения многоугольников: их стороны образуют замкнутую ломаную. Длина такой фигуры связана с периметром — суммой длин её сторон. Поэтому умение перечислять звенья помогает не пропустить сторону при подсчёте.

Вершины можно задавать точками на координатной плоскости. Если соединить их в указанной последовательности, получится ломаная, а изменение порядка может дать другой путь. Координаты позволяют точно строить фигуру и проверять, где находятся её вершины.

Что запомнить

• Ломаная состоит из последовательно соединённых отрезков.
• Каждый отрезок ломаной называется её звеном.
• Общие точки соседних звеньев называются вершинами.
• Имя ломаной записывают именами её вершин по порядку.
• Ломаную можно назвать в прямом и обратном порядке.
• У незамкнутой ломаной звеньев на одно меньше, чем вершин.
• У замкнутой ломаной начало и конец совпадают.