Урок 5. Многоугольник

Определения и обозначения

Многоугольник — часть плоскости, ограниченная замкнутой ломаной. Чтобы такая ломаная была границей многоугольника, она должна замыкаться и не пересекать себя. Это определение помогает отличить фигуру от произвольного набора отрезков и точно понять, какую часть плоскости рассматривают.

Вершина многоугольника — общая точка двух соседних звеньев ограничивающей его ломаной. В этой точке одна сторона заканчивается, а следующая начинается. Вершины нужны, чтобы обозначать фигуру и определять, какие её точки являются соседними.

Сторона многоугольника — звено ломаной, которая ограничивает фигуру. Две стороны, имеющие общую вершину, называют соседними. Понятие стороны позволяет описывать границу многоугольника и считать её элементы.

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. Она не является частью границы: её концы находятся в вершинах, между которыми нет стороны. Диагонали помогают изучать устройство фигуры и делить её на более простые части.

Как это устроено

Если провести несколько отрезков так, чтобы конец каждого совпал с началом следующего, получится ломаная. Когда её последний конец соединён с первым, ломаная становится замкнутой; если при этом её звенья не пересекаются, она ограничивает многоугольник. Самопересечение мешало бы однозначно выделить обычную внутреннюю часть фигуры, поэтому граница простого многоугольника не должна пересекать себя. Соседние звенья встречаются в общей точке, а значит, каждая такая точка является вершиной и объединяет две стороны.

При обходе замкнутой границы мы последовательно проходим каждое звено и каждую вершину. После последнего звена возвращаемся к первой вершине, поэтому число звеньев и число точек их соединения совпадает. У многоугольника не может быть одной или двух сторон: ими нельзя составить замкнутую ломаную без самопересечения, ограничивающую фигуру. Минимальное число сторон и вершин — три.

Название многоугольника зависит от числа его сторон: при трёх сторонах это треугольник, при четырёх — четырёхугольник, при пяти — пятиугольник. Фигуру с шестью сторонами называют шестиугольником, а с большим числом сторон — соответственно многоугольником с таким числом сторон. Эти названия сразу сообщают, сколько у фигуры вершин, потому что количество сторон и вершин одинаково. Поэтому, например, у пятиугольника пять сторон и пять вершин.

Чтобы провести диагонали, сначала выбирают вершину, затем соединяют её отрезками с несоседними вершинами. Саму выбранную вершину соединять с собой нельзя, а две соседние уже соединены сторонами. Поэтому для диагоналей остаются только остальные вершины. У треугольника таких вершин нет, а у многоугольника с большим числом сторон диагонали могут делить фигуру на части.

Многоугольник называют, перечисляя его вершины заглавными латинскими буквами в порядке обхода границы. Например, в записи ABCDE после A идёт соседняя вершина B, затем C, D и E, а граница возвращается к A. Начать перечисление можно с любой вершины и идти в любом направлении, если порядок остаётся последовательным. Такой способ обозначения показывает, какие вершины соседствуют и как расположены стороны.

Элементы многоугольников с разным числом сторон

В таблице сопоставлены число сторон, число вершин и число диагоналей во всём многоугольнике.

Для подсчёта диагоналей из одной вершины исключают её саму и две соседние вершины. Полученное число диагоналей из одной вершины не равно общему числу диагоналей: каждую диагональ можно увидеть из обоих её концов.

Разбор задач

Задача 1. Замкнутая ломаная имеет три вершины. Определить, является ли она многоугольником, если её звенья не пересекаются, и назвать фигуру. Сначала проверяем не только число вершин, но и свойства границы. Именно замкнутость и отсутствие самопересечений позволяют выделить многоугольник.

1. Ломаная замкнута, поэтому её последнее звено соединяет конец с началом.
2. По условию звенья не пересекаются; значит, граница подходит для многоугольника.
3. У ломаной три вершины, следовательно, три стороны.
4. Фигуру с тремя сторонами называют треугольником.

Ответ: да, это многоугольник — треугольник.

Задача 2. В многоугольнике ABCDE назвать стороны и диагонали, выходящие из вершины A. Буквы идут по порядку вдоль границы, поэтому соседями A являются B и E. Теперь можно отделить стороны от отрезков, соединяющих несоседние вершины.

1. Из записи ABCDE видно, что сторонами у вершины A являются AB и AE.
2. Вершина A не соседствует с C и D.
3. Соединяем A с C и A с D; получаем диагонали AC и AD.

Ответ: стороны у вершины A — AB и AE, диагонали из неё — AC и AD.

Задача 3. У многоугольника 7 вершин. Сколько у него сторон и сколько диагоналей можно провести из одной вершины? Число сторон сразу следует из равенства количества сторон и вершин. При поиске диагоналей из выбранной вершины нельзя считать ни её саму, ни двух соседей.

1. Сторон столько же, сколько вершин: 7.
2. Из выбранной вершины исключаем её саму и двух соседей: 7 − 3 = 4.
3. К четырём оставшимся вершинам можно провести диагонали.

Ответ: 7 сторон; из одной вершины можно провести 4 диагонали.

Типичные ошибки

Ошибка: считать многоугольником любую замкнутую ломаную. Часто проверяют только, соединились ли начало и конец, и не замечают самопересечение. Но пересекающая себя граница не образует простой многоугольник. Проверь, не пересекаются ли звенья, кроме соседних звеньев в общей вершине.

Ошибка: считать, что вершин и сторон может быть разное число. Так бывает, если при подсчёте пропускают звено или дважды считают одну точку. Обходи границу последовательно и отмечай каждую вершину вместе с выходящей из неё стороной. В замкнутой ломаной число этих элементов одинаково.

Ошибка: путать сторону с диагональю. Оба отрезка соединяют вершины, поэтому их легко смешать. Проверь, соседние ли это вершины: отрезок между соседними — сторона, между несоседними — диагональ. Сторона лежит на границе, диагональ не входит в неё.

Ошибка: проводить диагональ между соседними вершинами. Обычно так получается, когда не проверяют, есть ли между вершинами сторона. Но соединение соседних вершин уже является стороной, а не диагональю. Перед проведением отрезка отметь две соседние с выбранной вершиной точки и исключи их.

Связь с другими темами

Для изучения многоугольников нужно узнавать точку, отрезок, ломаную и замкнутую ломаную. Эти понятия позволяют понять, из каких частей составлена граница и как она соединяется. Без них нельзя проверить, образует ли ломаная многоугольник.

Знание угла помогает описывать фигуру в месте, где встречаются две стороны. Заглавные латинские буквы нужны, чтобы обозначать вершины и перечислять их вдоль границы. Вместе эти навыки делают геометрические записи понятными и точными.

Многоугольники понадобятся при изучении периметра и площади: периметр связан с длинами сторон, а площадь — с частью плоскости внутри границы. Они также встречаются в геометрических построениях, когда нужно соединять вершины или делить фигуру диагоналями. Поэтому распознавание сторон и диагоналей пригодится в следующих темах.

Что запомнить

• Многоугольник ограничен замкнутой ломаной без самопересечений.
• У многоугольника не менее трёх сторон.
• Число вершин равно числу сторон.
• Вершины многоугольника обозначают заглавными латинскими буквами.
• Сторона соединяет две соседние вершины.
• Диагональ соединяет две несоседние вершины.