Урок 6. Многоугольник

Определения и обозначения

Многоугольник — замкнутая ломаная, состоящая из нескольких отрезков. Иными словами, конец каждого отрезка соединён с началом следующего, а последний отрезок возвращает линию к начальной точке. Это определение помогает отличить многоугольник от незамкнутой ломаной.

Вершина многоугольника — точка, в которой соединяются две соседние стороны. Такие точки отмечают углы и места перехода от одного отрезка к другому. Их обычно обозначают заглавными латинскими буквами, чтобы удобно описывать фигуру.

Сторона многоугольника — отрезок, соединяющий две соседние вершины. Все стороны вместе образуют границу фигуры, поэтому по ним можно восстановить её форму. Длину каждой стороны используют, например, при вычислении периметра.

Диагональ многоугольника — отрезок, соединяющий две его несоседние вершины. Она проходит внутри фигуры и не входит в её границу. Понятие диагонали позволяет отличать внутренние отрезки от сторон и изучать устройство многоугольника.

Как это устроено

Чтобы получить многоугольник, отрезки соединяют концом к началу так, чтобы ломаная замкнулась. Если она не замкнута, у фигуры остаются свободные концы, поэтому её граница не образует многоугольник. Также несоседние стороны не должны пересекаться: иначе граница будет проходить через дополнительную точку пересечения и нарушит обычное устройство фигуры. Соседние стороны, напротив, встречаются в общей вершине.

Каждая вершина соединяет ровно две соседние стороны, а каждая сторона имеет две конечные вершины. При обходе замкнутой ломаной число переходов между вершинами совпадает с числом точек поворота, поэтому число сторон равно числу вершин. Это равенство помогает проверить подсчёт. Название выбирают по числу сторон: у трёх сторон — треугольник, у четырёх — четырёхугольник, у пяти — пятиугольник.

Многоугольник обозначают буквами его вершин, например ABCDE. Буквы записывают последовательно по границе: после A указывают одну из соседних вершин, затем следующую и так далее. Такой порядок нужен, чтобы запись показывала, какие стороны соединяются: в ABCDE сторонами будут AB, BC, CD, DE и EA. Начать обход можно с любой вершины и выбрать любое направление, если порядок соседства сохранён.

Периметр многоугольника находят сложением длин всех его сторон. Так поступают потому, что периметр измеряет полную длину границы, а она состоит именно из сторон. Например, у четырёхугольника со сторонами a, b, c и d периметр равен P = a + b + c + d. Все длины перед сложением должны быть выражены в одинаковых единицах.

Сторона и диагональ обе соединяют вершины, поэтому их легко перепутать. Решает вопрос соседство: если между двумя вершинами по границе есть сторона, соединяющий их отрезок — сторона; если вершины несоседние, отрезок является диагональю. В треугольнике любая пара вершин соседняя, поэтому диагоналей нет. Из одной вершины многоугольника с n вершинами можно провести n − 3 диагонали: не считаются сама вершина и две соседние.

Элементы и основные характеристики многоугольника

Сначала найдите точки соединения и проследите границу фигуры — так проще определить вершины и стороны. Затем проверьте соседство вершин, чтобы не принять диагональ за сторону. Для периметра выпишите длину каждой стороны и сложите значения в одинаковых единицах.

Разбор задач

Дан пятиугольник ABCDE. Назовите его стороны, вершины и диагонали, выходящие из вершины A. Для ответа важно идти по границе в порядке букв: так можно точно установить соседние вершины. Диагоналями из A будут отрезки к вершинам, которые не соседствуют с A.

1. Вершины — A, B, C, D, E.
2. Обход границы ABCDEA показывает стороны AB, BC, CD, DE и EA.
3. С вершиной A соседствуют B и E, поэтому отрезки AB и AE — стороны.
4. Оставшиеся вершины C и D несоседние с A; диагонали из A — AC и AD.

Ответ: вершины A, B, C, D, E; стороны AB, BC, CD, DE, EA; диагонали из A — AC и AD. Проверка проста: у пятиугольника из одной вершины должно выходить 5 − 3 = 2 диагонали. Получилось два отрезка, значит, перечисление полное.

Найдите периметр четырёхугольника со сторонами 4 см, 6 см, 5 см и 7 см. Периметр — длина всей границы, поэтому нужно учесть каждую из четырёх сторон ровно один раз. Все данные уже выражены в сантиметрах.

1. Запишем сложение длин сторон: P = 4 + 6 + 5 + 7.
2. Сложим первые две длины: 4 + 6 = 10 см.
3. Прибавим оставшиеся: 10 + 5 + 7 = 22 см.

Ответ: периметр равен 22 см. Проверим, что использованы все четыре стороны, а единица измерения сохранена. Значение больше длины любой отдельной стороны, как и должно быть для суммы длин границы.

Периметр пятиугольника равен 32 см, а четыре стороны имеют длины 6 см, 7 см, 8 см и 5 см. Нужно найти длину пятой стороны. Поскольку периметр включает все пять сторон, неизвестную длину можно получить, вычтя из общей суммы длины известных сторон.

1. Сложим известные стороны: 6 + 7 + 8 + 5 = 26 см.
2. Вычтем их сумму из периметра: 32 − 26 = 6 см.
3. Проверим сложением: 26 + 6 = 32 см.

Ответ: длина пятой стороны равна 6 см. Проверка подтверждает, что общая длина сторон совпадает с заданным периметром. Все величины были в сантиметрах, поэтому их можно было сразу складывать и вычитать.

Типичные ошибки

Диагональ иногда считают стороной, потому что оба отрезка соединяют вершины. Ошибка возникает, если смотреть только на концы отрезка и не учитывать их положение на границе. Проверьте, соседствуют ли вершины: соседние соединены стороной, несоседние — диагональю.

Название многоугольника буквами могут записать не по порядку, например перескочить через вершину. Тогда перечисленные пары букв не будут соответствовать настоящим сторонам фигуры. Проверка: начните с одной буквы и двигайтесь по соседним вершинам вдоль границы, не пропуская их.

При подсчёте вершин или сторон одну и ту же точку можно случайно учесть дважды — особенно если обход начинается и заканчивается в одной вершине. Повтор начальной буквы в записи замыкает ломаную, но не означает новую вершину. Отметьте каждую вершину один раз и отдельно пересчитайте стороны между соседними отметками.

Периметр получится неверным, если пропустить сторону или сложить длины, выраженные в разных единицах. Обычно пропуск случается, когда считают только видимые или уже подписанные значения, а единицы не согласуют перед вычислением. Выпишите все стороны по порядку, отметьте использованные длины и приведите их к одной единице; затем сложите и проверьте количество слагаемых.

Связь с другими темами

Для изучения многоугольников нужно знать, что такое точка, отрезок, ломаная и длина отрезка. Эти понятия позволяют описать границу фигуры и измерить её части. Дальше умение находить периметр пригодится при изучении периметров и площадей многоугольников.

Стороны, вершины и диагонали нужны при изучении треугольников, четырёхугольников и геометрических построений. По этим элементам описывают фигуры, сравнивают их и устанавливают связи между частями. Поэтому уверенное различение сторон и диагоналей становится основой для следующих геометрических тем.

Что запомнить

• Многоугольник — замкнутая ломаная.
• Число сторон многоугольника равно числу его вершин.
• Стороны соединяют соседние вершины.
• Диагонали соединяют несоседние вершины.
• Многоугольник называют по числу его сторон.
• Периметр равен сумме длин всех сторон.
• При обозначении многоугольника буквы вершин записывают по порядку.