Урок 5.Пирамида

Определения и обозначения

Пирамида — многогранник, состоящий из многоугольника-основания и треугольных боковых граней с общей вершиной. Проще представить её как объёмную фигуру, у которой нижняя часть — многоугольник, а боковые части сходятся наверху. Это определение помогает отличить пирамиду от других многогранников.

Основание пирамиды — многоугольник, от которого образуется пирамида. Он задаёт форму нижней части фигуры: основание может быть треугольником, четырёхугольником, пятиугольником и так далее. По числу его сторон удобно находить количество других элементов пирамиды.

Вершина пирамиды — точка, не лежащая в плоскости основания, соединённая с его вершинами. Она расположена вне основания и является общей точкой всех боковых граней. Не следует путать её с вершинами самого многоугольника основания.

Боковая грань — треугольная грань пирамиды, а боковое ребро — отрезок, соединяющий вершину пирамиды с вершиной основания. Каждая сторона основания образует одну боковую грань, а каждая вершина основания соединяется с вершиной пирамиды одним боковым ребром. Поэтому эти элементы легко считать через число сторон основания.

Как это устроено

Чтобы построить пирамиду, сначала выбирают многоугольник в некоторой плоскости, а затем точку вне этой плоскости. Эту точку называют вершиной пирамиды. Если соединить её со всеми вершинами основания, пространство между получившимися треугольниками и основанием образует пирамиду.

Боковые грани являются треугольниками потому, что каждая из них имеет одну сторону основания и одну общую точку вне его плоскости. Например, сторона AB основания вместе с вершиной S образует треугольник SAB. Общая вершина S есть у всех таких треугольников, поэтому боковые грани сходятся в одном месте.

Число сторон основания определяет число боковых граней и боковых рёбер: каждой стороне соответствует одна боковая грань, а каждой вершине основания — одно боковое ребро. Если основание имеет n сторон, то боковых граней будет n и боковых рёбер тоже n. Это правило работает для основания любой формы.

У пирамиды есть вершины, рёбра и грани. Вершины — это точки соединения рёбер: n вершин принадлежат основанию, ещё одна является вершиной пирамиды; значит, всего n + 1 вершина. Рёбра включают n рёбер основания и n боковых рёбер, поэтому их 2n, а граней — одно основание и n боковых, всего n + 1. Распознать пирамиду можно по сочетанию одного основания и треугольных граней, сходящихся к одной вершине; у призмы оснований два.

Элементы и свойства пирамиды

Чтобы пользоваться таблицей, сначала определите число сторон основания и обозначьте его буквой n. Затем подставьте это число в нужные правила. Отдельно считайте элементы основания и боковые элементы, чтобы не пропустить или не повторить их.

Разбор задач

Задача 1. Элементы треугольной пирамиды

Рассмотрим пирамиду с треугольным основанием ABC и вершиной S. Нужно назвать её основание, вершины, рёбра и грани. Обозначения помогают описать фигуру точно, даже если часть рёбер на изображении скрыта.

1. Основание — треугольник ABC.
2. Вершины фигуры — A, B, C и S, где S — вершина пирамиды.
3. Рёбра основания — AB, BC, CA; боковые рёбра — SA, SB, SC.
4. Грани — основание ABC и боковые треугольники SAB, SBC, SCA.

Ответ: основание ABC; вершины A, B, C, S; рёбра AB, BC, CA, SA, SB, SC; грани ABC, SAB, SBC, SCA. Это треугольная пирамида, потому что её основание имеет три стороны.

Задача 2. Пятиугольная пирамида

Пирамида имеет пятиугольное основание. Требуется определить число боковых граней, боковых рёбер, вершин, всех рёбер и всех граней. Здесь достаточно применить правила для n-угольного основания, взяв n = 5.

1. Боковых граней столько же, сколько сторон основания: 5.
2. Боковых рёбер столько же, сколько вершин основания: 5.
3. Всего вершин: 5 + 1 = 6.
4. Всего рёбер: 2 · 5 = 10.
5. Всего граней: 5 + 1 = 6.

Ответ: 5 боковых граней, 5 боковых рёбер, 6 вершин, 10 рёбер и 6 граней. Проверка: пять граней боковые и одна — основание.

Задача 3. Как распознать пирамиду

Даны два описания: многогранник с квадратным основанием и четырьмя треугольными боковыми гранями; многогранник с двумя равными основаниями. Нужно выбрать пирамиду и объяснить решение. Одного упоминания слова «основание» недостаточно: важно узнать строение всей фигуры.

1. В первом описании есть одно квадратное основание и четыре треугольные грани, сходящиеся к общей вершине.
2. Это соответствует определению пирамиды: одно основание и боковые треугольники.
3. Во втором описании два равных основания, что является признаком призмы.

Ответ: пирамида — многогранник с квадратным основанием и четырьмя треугольными боковыми гранями. Второй многогранник является призмой.

Типичные ошибки

Основанием считают любую грань пирамиды. Ошибка появляется потому, что любая грань выглядит частью фигуры, но основание в условии связано с построением пирамиды. Проверьте, какой многоугольник указан как исходный, и считайте боковые грани относительно него.

Вершину пирамиды путают с вершиной основания. Это происходит, когда не учитывают положение точки в пространстве. Проверьте: вершина пирамиды не лежит в плоскости основания, а вершины основания принадлежат самому многоугольнику.

Боковые грани считают прямоугольниками. Так бывает при сравнении пирамиды с призмой, у которой боковые грани часто имеют прямоугольную форму. Проверьте число вершин каждой боковой грани: у пирамиды она соединяет одну сторону основания с общей вершиной и является треугольником.

Неверно считают количество элементов. При основании с n сторонами боковых граней и боковых рёбер по n, а вершин всего n + 1. Для проверки отдельно пересчитайте элементы основания, добавьте боковые элементы и сравните результат с формулами 2n и n + 1.

Связь с другими темами

До изучения пирамиды нужно знать многоугольники, их вершины и стороны, а также вершины, рёбра и грани многогранников. Эти понятия составляют язык, на котором описывают пространственную фигуру.

Пирамида связана с темой призмы: сравнение оснований и боковых граней помогает быстро распознавать многогранники. По развёртке также можно определить фигуру: у пирамиды к одному многоугольнику прикреплены треугольники.

Дальше эти знания понадобятся при вычислении площади поверхности и объёма пирамиды, изучении правильных пирамид и их развёрток. Сначала важно уверенно находить элементы фигуры, а затем переходить к формулам.

Что запомнить

• Пирамида имеет одно многоугольное основание.
• Все боковые грани пирамиды — треугольники.
• Все боковые грани сходятся в одной вершине.
• Если в основании n-угольник, то боковых граней и боковых рёбер n.
• У пирамиды с n-угольным основанием n + 1 вершина.
• У пирамиды с n-угольным основанием 2n рёбер.
• Пирамида отличается от призмы тем, что у неё одно основание, а боковые грани сходятся к вершине.