Урок 5. Разрядные слагаемые

Определения и обозначения

Разряд — место цифры в записи числа, определяющее её значение. Разряды считают справа налево: сначала единицы, затем десятки, сотни, тысячи. Это понятие нужно, чтобы понимать, почему одинаковая цифра в разных местах обозначает разные числа.

Разрядная единица — единица, соответствующая определённому разряду: единица, десяток, сотня, тысяча и далее. Её числовые значения равны 1, 10, 100, 1000. Разрядная единица служит мерой, с которой сравнивают значение цифры.

Разрядное слагаемое — слагаемое, показывающее значение цифры данного разряда в числе. Например, цифра 7 в числе 572 даёт разрядное слагаемое 70. С его помощью видно, сколько единиц, десятков или сотен содержит число.

Разложение числа на разрядные слагаемые — представление числа в виде суммы значений его цифр по разрядам. Например, 572 = 500 + 70 + 2. Такое представление раскрывает строение числа и облегчает многие вычисления.

Как это устроено

Значение цифры зависит от её позиции, потому что позиционная запись показывает количество разрядных единиц каждого вида. Цифра 4 справа обозначает 4 единицы, левее — 4 десятка, ещё левее — 4 сотни. Поэтому одна и та же цифра в записях 4, 40 и 400 имеет значения 4, 40 и 400. Положение цифры фактически показывает, во сколько раз нужно увеличить её значение.

Соседние разряды связаны отношением 10, потому что один десяток состоит из десяти единиц, одна сотня — из десяти десятков, а одна тысяча — из десяти сотен. Значит, единица каждого следующего разряда в десять раз больше единицы предыдущего. Именно поэтому при переходе от единиц к десяткам число увеличивается в 10 раз, а при переходе к сотням — ещё в 10 раз. Эта закономерность продолжается для десятков тысяч, сотен тысяч и миллионов.

Чтобы определить значение цифры, сначала найдите её разряд, а затем умножьте цифру на соответствующую разрядную единицу. Например, в числе 4305 цифра 3 стоит в разряде сотен, поэтому её значение равно 3 · 100 = 300. Цифра 5 стоит в разряде единиц и даёт 5 · 1 = 5. Такой способ одинаково работает для любого натурального числа.

Для разложения числа выпишите значения всех его ненулевых цифр и соедините их знаками сложения. В числе 4305 это 4000 + 300 + 5: разряд десятков пропущен, потому что там стоит ноль. Ноль не создаёт отдельного слагаемого, но сохраняет положение соседних цифр в записи числа. Сумма получившихся слагаемых обязательно равна исходному числу, поскольку каждое слагаемое возвращает вклад одного разряда.

Разрядное представление помогает читать число по частям и сравнивать числа одинаковой длины. Оно также показывает, какие единицы нужно складывать или вычитать при письменных вычислениях. При округлении разряды позволяют сразу увидеть цифру, которую изменяют, и цифру справа от неё. Поэтому разрядные слагаемые связывают запись числа с дальнейшими действиями над ним.

Разряды и разрядные слагаемые числа

В таблице разряды расположены от больших к меньшим, но определять их удобно справа налево. Чтобы получить последнее столбцовое значение, умножьте цифру на разрядную единицу её строки. Нулевое слагаемое можно не включать в запись: 4 305 = 4 000 + 300 + 5.

Разбор задач

Задача 1. Разложите число 572 на разрядные слагаемые.

Нужно определить значение каждой цифры, а не просто переписать цифры в виде суммы. В числе 572 цифра 5 обозначает сотни, цифра 7 — десятки, цифра 2 — единицы. Поэтому все три разряда дают ненулевые слагаемые.

1. Цифра 5 стоит в разряде сотен: 5 · 100 = 500.
2. Цифра 7 стоит в разряде десятков: 7 · 10 = 70.
3. Цифра 2 стоит в разряде единиц: 2 · 1 = 2.
4. Записываем сумму полученных значений: 572 = 500 + 70 + 2.

Ответ: 572 = 500 + 70 + 2.

Задача 2. Запишите число 6 204 в виде суммы разрядных слагаемых.

Сначала найдём значение каждой цифры по её месту. Цифра 6 даёт 6000, цифра 2 — 200, цифра 0 в разряде десятков дала бы слагаемое 0, а цифра 4 даёт 4. Нулевое слагаемое не записываем, но сам ноль учитываем, чтобы не перепутать 6 204 с 624.

1. Разряд тысяч: 6 · 1000 = 6000.
2. Разряд сотен: 2 · 100 = 200.
3. Разряд десятков: 0 · 10 = 0, это слагаемое пропускаем.
4. Разряд единиц: 4 · 1 = 4.

Ответ: 6 204 = 6 000 + 200 + 4.

Задача 3. Составьте число по разрядным слагаемым 30 000, 700, 5.

Каждое слагаемое показывает отдельный разряд. 30 000 означает 3 десятка тысяч, 700 — 7 сотен, а 5 — 5 единиц. Между ними нет слагаемых десятков тысяч? Уточним запись по разрядам: 30 000 уже содержит 3 в разряде десятков тысяч, затем идут пропущенные тысячи и сотни? Слагаемое 700 занимает сотни, поэтому в разрядах тысяч и десятков должны стоять нули.

1. Записываем 3 в разряд десятков тысяч.
2. В разряд тысяч ставим 0, так как слагаемого тысяч нет.
3. В разряд сотен ставим 7, а в разряд десятков — 0.
4. В разряд единиц ставим 5 и получаем 30 705.

Ответ: 30 705; нули стоят в разрядах тысяч и десятков.

Типичные ошибки

Иногда цифру принимают за её разрядное значение: в числе 572 записывают 5 вместо 500. Так происходит, если не определить положение цифры. Проверьте себя умножением цифры на 1, 10, 100 или другую разрядную единицу.

Разряды ошибочно считают слева направо и называют крайнюю левую цифру единицами. Причина — привычка начинать чтение числа с первой цифры, хотя разрядный счёт начинается справа. Для проверки найдите последнюю цифру: она всегда обозначает единицы.

При восстановлении числа забывают поставить нули в отсутствующие разряды и сдвигают цифры. Например, из 30 000 + 700 + 5 получают 3 705 вместо 30 705. Проверьте каждое слагаемое, назвав его разряд перед записью.

Некоторые включают в сумму нулевые слагаемые или считают, что ноль меняет соседние цифры. Ноль действительно сохраняет место разряда, но его произведение на разрядную единицу равно нулю. Сверьте результат сложением: после пропуска нулевого слагаемого сумма должна остаться прежней.

Связь с другими темами

До изучения темы нужно уметь читать и записывать натуральные числа, понимать значение цифр и умножать на 10, 100 и 1000. Эти знания позволяют сразу находить разряд и его единицу.

Разрядное разложение пригодится при сравнении и округлении натуральных чисел. Оно также помогает правильно выполнять письменные сложение и вычитание, располагая цифры по одинаковым разрядам.

Что запомнить

• Разряды считают справа налево.
• Каждый следующий разряд в десять раз больше предыдущего.
• Значение цифры определяется её местом в записи числа.
• Разрядное слагаемое равно цифре, умноженной на соответствующую разрядную единицу.
• Число равно сумме своих разрядных слагаемых.
• Нулевое разрядное слагаемое можно не записывать.