Урок 4. Имя луча

Определения и обозначения

Луч — часть прямой, имеющая начало, но не имеющая конца. Его можно представить как движение от выбранной точки всё дальше в одном направлении. Такое понятие помогает описывать не всю прямую, а только её часть, продолжающуюся в одну сторону.

Начало луча — точка, от которой луч продолжается в одном направлении. В отличие от обычной точки на луче, начало задаёт место, откуда начинается движение. Его важно определить, чтобы не перепутать два луча, лежащие на одной прямой.

Имя луча — обозначение двумя заглавными буквами, первая из которых указывает начало луча. Вторая буква показывает направление, потому что обозначает точку, через которую проходит луч. По имени можно понять, откуда начинается луч и куда он направлен.

Обозначение луча — запись его имени с помощью знака луча и двух точек, например луч AB. При чтении сначала называют первую букву, затем вторую: «луч AB». Такая запись нужна, чтобы точно указывать луч в геометрических рассуждениях и не путать его с другими частями прямой.

Как это устроено

Представь прямую и выбери на ней точку A. Эта точка делит прямую на две части, уходящие от неё в противоположные стороны, поэтому одного выбора начала ещё недостаточно. Чтобы получить луч, нужно выбрать одну из этих сторон: часть прямой, направленную туда от A, и будет лучом. Другая сторона тоже образует луч с началом в A, но это уже другой луч.

Для имени нужны две точки, потому что они сообщают разные сведения. Первая отмечает начало, а вторая лежит дальше по лучу и показывает, в какую сторону он идёт. Если указать только начало, останется неясным, какую из двух сторон прямой выбрали. Поэтому в записи луча AB точка A является началом, а B помогает задать направление.

Запись луча обычно сопровождают знаком луча над двумя буквами: сначала ставят A, затем B. Читают её как «луч AB», не переставляя буквы. Это не просто название двух точек: порядок букв сообщает, где луч начинается и через какую точку проходит. Поэтому при чтении полезно каждый раз проверять, какая буква стоит первой.

Луч AB и луч BA обычно не совпадают, даже если точки A и B лежат на одной прямой. У луча AB начало в A, и он направлен через B; у луча BA начало в B, и направление задано через A. Получаются части прямой, выходящие из разных точек в противоположные стороны. Совпадение одной прямой не делает эти лучи одинаковыми: сравнивать нужно и начало, и направление.

Если луч начинается в A, то на нём может лежать много точек, например B и C. Направление от A через B будет тем же, что и от A через C, если обе точки находятся на выбранной стороне от A. Поэтому луч можно обозначить как AB или AC. Точку самого начала нельзя поставить второй буквой: она не показывает, в какую сторону луч продолжается.

Основные сведения о луче и его обозначении

Пользуйся таблицей как проверкой: сначала найди начало, затем точку, задающую направление. После этого запиши буквы в нужном порядке и сравни лучи по обоим признакам. Если начала или направления не совпадают, лучи различны.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке отмечены точки A, B и C, причём B и C лежат на одном луче с началом в точке A. Запишите имя луча двумя способами. Нужно найти точку, от которой начинается этот луч, и выбрать точки, лежащие на нём дальше от начала. Условие сразу подсказывает, что обе подходящие точки — B и C.

1. Определяем начало: в условии оно указано явно, это точка A. Значит, A должна быть первой буквой каждого имени.
2. Проверяем, какие точки лежат на луче после A. И B, и C находятся на одном луче с началом A, поэтому каждую можно поставить второй буквой.
3. Записываем обозначения, сохраняя порядок букв. Получаем лучи AB и AC; это два имени одного и того же луча.

Ответ: луч AB и луч AC.

Задача 2

Из точек A, B и C на одной прямой образованы лучи AB, BA, AC и CA. Укажите, какие из них совпадают, а какие различаются. Чтобы не сделать вывод только по тому, что точки лежат на одной прямой, проверим у каждого луча начало и направление. По условию все три точки расположены на одной прямой, но их порядок на ней не задан, поэтому совпадения AB с AC и BA с CA можно утверждать лишь тогда, когда B и C находятся по одну сторону от A и A и C — по одну сторону от B соответственно. Между тем луч AB и BA имеют разные начала.

1. У луча AB начало A, направление задаётся точкой B; у луча BA начало B, направление задаётся A. Значит, эти лучи различны.
2. У луча AC начало A, а направление задаёт C. Лучи AB и AC совпадают, если B и C лежат на одной стороне от A, как в обычном расположении A, B, C на одной стороне.
3. У луча CA начало C, направление через A. Чтобы решить, совпадает ли он с BA или другими, нужно знать порядок точек. При расположении A, B, C именно в таком порядке лучи BA и CA направлены в одну сторону, но имеют разные начала, поэтому не совпадают.

Ответ: AB и BA различны; для полного определения совпадений остальных лучей необходимо знать порядок точек на прямой. При порядке A, B, C все четыре луча различны.

Задача 3

По рисунку с несколькими пересекающимися прямыми нужно перечислить все лучи с началом в точке O, назвать их и объяснить, какие записи обозначают один и тот же луч. Сначала полезно не перебирать буквы наугад, а выделить прямые направления, выходящие из O. На каждой прямой через O образуются два противоположных луча, если на обеих сторонах есть отмеченные точки. Точные названия зависят от того, какие точки показаны на рисунке.

1. Найди все отмеченные точки, лежащие на прямых, проходящих через O. Для каждой прямой отметь стороны от O: противоположные стороны соответствуют разным направлениям.
2. Для каждого направления выбери точку, лежащую на этой стороне от O. Запиши имя луча так, чтобы O была первой буквой, например луч OA.
3. Если на том же направлении есть ещё точки B и C, запиши также лучи OB и OC. Они обозначают тот же луч, поскольку начинаются в O и идут в одном направлении.
4. Сгруппируй обозначения с одинаковым началом и направлением. Точки на противоположной стороне от O образуют отдельный луч, даже если лежат на той же прямой.

Ответ: перечисляют все направления из O, ставя O первой буквой; записи с точками на одном направлении обозначают один луч. Конкретный список букв можно составить только по расположению точек на рисунке.

Типичные ошибки

• Если записать буквы в обратном порядке, можно назвать луч BA вместо AB. Так ошибаются, когда воспринимают имя как простое перечисление точек и не проверяют начало. Самопроверка: укажи первую точку и убедись, что именно от неё начинается луч.

• Иногда лучи AB и BA считают одинаковыми, потому что они лежат на одной прямой. Но прямая содержит два направления, а у этих лучей ещё и разные начала. Проверь обе записи: сначала сравни первые буквы, затем выясни, в какую сторону направлен каждый луч.

• Нельзя назвать луч одной буквой или указать второй буквой точку, не лежащую на нём. Первая ошибка не задаёт направления, а во втором случае обозначение не соответствует изображённому лучу. Проверь, что букв две и обе точки принадлежат нужному лучу, причём вторая не совпадает с началом.

• Луч иногда принимают за отрезок и мысленно добавляют ему вторую конечную точку. Это происходит потому, что на рисунке продолжение луча может быть показано не полностью. Помни: рисунок ограничен листом, а сам луч продолжается бесконечно в одну сторону и имеет только одно начало.

Связь с другими темами

Для работы с лучами нужны понятия точки, прямой и отрезка, а также умение определять, принадлежит ли точка прямой, и читать геометрические обозначения. Дальше лучи помогают описывать расположение точек, углы и части прямой: например, стороны угла задаются лучами с общим началом. Та же идея встречается на координатной прямой и в геометрических построениях, где важно выбрать начальную точку и направление. Поэтому навык различать начало и направление пригодится при построении и чтении чертежей.

Что запомнить

• Луч имеет начало, но не имеет конца.
• Первая буква имени луча обозначает его начало.
• Вторая буква показывает направление луча.
• Имя луча записывают двумя заглавными буквами.
• Порядок букв в имени луча менять нельзя.
• Один и тот же луч можно назвать по-разному, выбирая разные точки на нём.
• Луч AB и луч BA имеют разные начала и направления.