Урок 3. Имя луча

Определения и обозначения

Луч — часть прямой, имеющая начало и продолжающаяся бесконечно в одну сторону. Представь прямую и точку на ней: если выбрать одно направление, получится луч. Это понятие нужно, чтобы точно описывать фигуры, которые ограничены только с одной стороны.

Начало луча — точка, из которой начинается луч. На рисунке начало отмечают точкой, от которой линия уходит в выбранную сторону. Оно помогает понять, где луч заканчивается с одной стороны и откуда его нужно отсчитывать.

Имя луча — обозначение луча двумя буквами, первая из которых указывает его начало. Например, в имени AB началом служит A. Такой порядок нужен, чтобы не перепутать луч с другим лучом, который может лежать на той же прямой.

Обозначение луча — запись с двумя точками: сначала называют начало луча, затем любую другую точку на луче. Буквы пишут заглавными и над ними ставят знак луча; словами такую запись читают «луч AB». Вторая точка показывает направление, а не конец фигуры.

Как это устроено

Чтобы получить луч, через выбранное начало проводят прямую, а затем выбирают одну из двух её частей. Прямая делится точкой на две стороны, и каждая сторона уходит от неё без конца. Если взять обе стороны сразу, получится уже вся прямая, поэтому для луча нужно указать только одну.

Первая буква имени показывает начало, потому что луч неравноправен в обе стороны: у него есть начальная точка и только одно направление продолжения. Вторая буква помогает отличить одну сторону прямой от другой. Например, если A и B лежат на прямой, запись AB показывает движение от A в сторону B.

Имя пишут двумя заглавными буквами, поскольку для обозначения нужны и начало, и точка, задающая направление. Знак луча над буквами помогает отличить обозначение фигуры от простого перечисления точек. Если знак не удаётся написать, в тексте можно сказать «луч AB», но при геометрической записи используют именно специальный знак над буквами.

Луч AB и луч BA обычно различны, потому что у них разные начала и направления. Если точки A и B различны, луч AB начинается в A и проходит через B, а луч BA начинается в B и идёт через A дальше. Они лежат на одной прямой, но выбирают противоположные стороны от своих начальных точек; совпасть такие лучи могут лишь в особом случае, когда точки A и B совпадают.

Один и тот же луч можно назвать разными именами, если вторая буква обозначает любую точку на нём. Например, если B и C лежат на одном луче с началом A, то имена AB и AC задают одну фигуру. Это удобно: можно выбрать ту точку, которая известна или подписана на рисунке, но начало всё равно должно оставаться первым.

Сравнение прямой, отрезка и луча

Сначала сравни количество концов, а затем проверь, в какую сторону продолжается фигура. У прямой концов нет, у отрезка их два, у луча — одно начало. При чтении обозначения луча не принимай вторую букву за его конец: она лишь показывает направление.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке луч начинается в точке A и проходит через точку B. Запишите имя луча. Чтобы не перепутать буквы, сначала определим, какая точка является началом, а потом проверим, где находится вторая точка. Вторая буква должна обозначать точку на продолжении луча.

1. Начало луча — A, поэтому первой записываем букву A.
2. Точка B лежит на луче, значит, второй записываем B.
3. Над буквами ставим знак луча; словами это обозначение читается «луч AB».

Ответ: луч AB.

Задача 2

Точки B и C лежат на одном луче с началом A. Запишите два возможных имени этого луча и объясните, почему они обозначают одну и ту же фигуру. Здесь важно не выбирать имя только по ближайшей точке: вторая буква может соответствовать любой точке на луче. Начало A при этом остаётся неизменным.

1. Поскольку начало луча — A, ставим A первой буквой.
2. Для второго места можно выбрать B, получаем имя AB.
3. Можно выбрать C, получаем имя AC; обе точки задают то же направление от A.

Ответ: луч AB и луч AC. Они совпадают, потому что начинаются в A и проходят в одну сторону через точки B и C.

Задача 3

Точки A, B и C расположены на одной прямой, причём B находится между A и C. Сравните лучи AB и BA, а также лучи AB и AC. Положение «между» означает, что от A к C сначала встречается B. Поэтому можно определить, какие точки задают одно направление от A, а какие лучи начинаются в разных местах.

1. Луч AB начинается в A и идёт через B в сторону C.
2. Луч BA начинается в B и идёт через A, то есть в противоположную сторону от C; лучи AB и BA различны.
3. Луч AC начинается в A и проходит через C, причём B лежит на этом же луче; значит, AB и AC совпадают.

Ответ: лучи AB и BA различны, а лучи AB и AC — один и тот же луч.

Типичные ошибки

• Записывают BA вместо AB, хотя луч начинается в A. Так происходит, если смотрят только на буквы и не проверяют их порядок. Найди начальную точку на рисунке и поставь её первой: это сразу покажет, правильно ли выбрано имя.

• Считают, что у луча два конца, путая его с отрезком. Причина — на рисунке часть луча выглядит как ограниченный кусок линии. Помни, что рисунок показывает лишь часть бесконечной фигуры: у луча есть начало, но нет конца.

• Пишут имя одной буквой или более чем двумя буквами. Одна буква не задаёт направление, а длинная запись не нужна для стандартного обозначения одного луча. Проверь, что указал начало и одну другую точку на луче — всего две буквы.

• Полагают, что любые лучи на одной прямой совпадают. Их начало или направление могут различаться, даже если они лежат на общей прямой. Сравни сначала первые буквы, затем проверь, в одну ли сторону направлены лучи.

Связь с другими темами

Перед изучением лучей нужно различать точку, прямую и отрезок, а также уметь обозначать точки заглавными буквами. Лучи используются при изучении угла: две его стороны являются лучами, выходящими из общей вершины. Имена лучей также помогают описывать, как расположены точки, и обозначать части геометрических фигур.

Что запомнить

• Луч имеет начало, но не имеет конца.
• Луч является частью прямой.
• Имя луча записывают двумя буквами.
• Первая буква имени луча обозначает его начало.
• Вторая буква обозначает любую другую точку луча.
• Порядок букв в имени луча важен.
• Один луч может иметь несколько имён.