Урок 2. Лучи

Определения и обозначения

Точка начала луча — это фиксированная точка, из которой луч выходит. Она задаёт место, откуда рассматривают выбранное направление. Это нужно, чтобы отличать один луч от другого, даже если они лежат на одной прямой.

Луч — часть прямой, состоящая из точки начала и всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от неё. Иными словами, от начала луч идёт в одном направлении и не обрывается. Такое определение помогает понять, какие точки принадлежат лучу.

Луч обозначают двумя буквами, например AB: первая буква A обозначает начало, а вторая B — любую другую точку луча. Луч AB проходит через B, но продолжается и за неё. Порядок букв нужен, чтобы по записи можно было определить начало и направление.

Как это устроено

Возьмём точку на прямой. Она разделяет прямую на две части, потому что от точки можно двигаться вдоль прямой в двух противоположных направлениях. Каждую такую часть вместе с самой точкой рассматривают как луч: без точки начала часть была бы неполной, а с ней однозначно понятно, откуда начинается движение.

Луч бесконечен в одном направлении, поскольку состоит из всех точек прямой по одну сторону от начала. Для любого расстояния можно найти на прямой ещё одну точку дальше в том же направлении, поэтому последней точки нет. Начало при этом фиксировано, а конец отсутствует: луч не ограничен второй точкой, которой его обозначают.

Чтобы построить луч по заданной точке начала A и ещё одной точке B, сначала проведи прямую через A и B. Затем выбери часть прямой, которая начинается в A и проходит через B. Выбор направления важен: вторая часть прямой от A тоже образует луч, но обозначение AB указывает именно на сторону, где лежит B.

Две различные точки A и B определяют единственную прямую, потому что через них можно провести только одну прямую. На этой прямой можно выбрать A началом и направить луч через B — получится луч AB. Если поменять выбор начала на B, получится луч BA, направленный в противоположную сторону; эти лучи имеют одну прямую, но разные начала.

Лучи с общим началом различают по направлению и по точкам, лежащим на каждом из них. Например, если лучи идут по одной прямой в противоположные стороны, точки по одну сторону от начала принадлежат одному лучу, а точки с другой стороны — другому. Если направления не совпадают, точки помогают определить, какой именно луч имеется в виду.

Сравнение прямой, луча и отрезка

Сравнивая фигуры, сначала выясни, есть ли у них начало или концы, а затем проверь, в каких направлениях они продолжаются. Запись двумя буквами сама по себе не всегда показывает фигуру: нужно учитывать, обозначается прямая, луч или отрезок. Для луча решающим является порядок букв — первая задаёт начало.

Разбор задач

Задача 1. На прямой отмечены точки A и B. Назовите луч с началом A, проходящий через B, и укажите, лежит ли на нём точка C, расположенная за B в том же направлении. Нужно учесть, что B задаёт направление, а не ограничивает луч.

1. Первая буква обозначения должна назвать начало, значит, первой пишем A.
2. Луч проходит через B, поэтому вторая буква — B. Получаем луч AB.
3. Точка C расположена за B в том же направлении от A, значит, она принадлежит лучу AB.

Ответ: луч AB; точка C лежит на нём.

Задача 2. Постройте луч AB и луч BA по двум различным точкам A и B. Опишите, что у этих лучей общего и чем они отличаются. Для ответа важно не переставить буквы незаметно: каждая запись задаёт собственное начало.

1. Проведите прямую через точки A и B.
2. Для луча AB выберите A началом и проведите луч через B.
3. Для луча BA выберите B началом и проведите его через A.
4. Оба луча лежат на одной прямой и проходят через A и B, но начинаются в разных точках и направлены противоположно.

Ответ: общая прямая и точки A, B; начала и направления различаются.

Задача 3. Точки A, B и C лежат на одной прямой, причём B находится между A и C. Назовите лучи с началом B и определите, какие из точек A и C принадлежат каждому из них. Положение B между двумя точками означает, что A и C лежат по разные стороны от B.

1. Один луч с началом B направим через A и обозначим BA.
2. Второй луч с началом B направим через C и обозначим BC.
3. Точка A принадлежит лучу BA, а точка C — лучу BC, поскольку каждая лежит в заданном для него направлении.
4. Точка A не принадлежит BC, а C не принадлежит BA: они находятся по другую сторону от B.

Ответ: лучи BA и BC; A лежит на BA, C — на BC.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что луч заканчивается во второй обозначенной точке. Так думают, потому что точка B часто выглядит как граница записи AB. Но она только задаёт направление: проверь, что за B луч можно продолжить дальше по той же прямой.

Ошибка — менять местами буквы, будто смысл обозначения не меняется. Это происходит, если не следить за порядком точек. Проверка простая: назови первую букву началом; у AB начало A, а у BA — B.

Ошибка — не включать точку начала в луч. Иногда кажется, что луч начинается сразу за этой точкой, однако определение включает её в состав луча. Чтобы проверить себя, перечисли части луча: точка начала и все точки прямой в выбранном направлении.

Ошибка — путать луч с прямой или отрезком. Все три фигуры могут лежать на одной прямой, поэтому по расположению на листе их легко смешать. Спроси себя, сколько у фигуры концов и в скольких направлениях она продолжается: у луча одно начало и одно бесконечное направление.

Связь с другими темами

Для работы с лучами нужно уметь отмечать точки и проводить прямую через две точки. Это помогает правильно задать линию, на которой будет расположен луч. После этого остаётся определить начало и направление.

Понятие луча пригодится при изучении углов: стороны угла являются лучами с общим началом. Поэтому умение различать направления лучей помогает понимать, как устроен угол. Общая точка этих сторон называется вершиной угла.

Луч также используется при построении координатного луча и сравнении расстояний. На нём выбирают начало и направление, а затем отмечают точки. Такое представление помогает связывать геометрические объекты с числами.

Что запомнить

• Луч — часть прямой с началом и одним направлением продолжения.
• Точка начала принадлежит лучу.
• Луч бесконечен и не имеет конца в направлении продолжения.
• В обозначении луча первой пишут точку начала.
• Две точки на одной прямой задают два противоположных луча, если выбрать одну из них началом.
• Луч и отрезок различаются тем, что у отрезка есть два конца.