Урок 8. Порядок выполнения действий

Определения и обозначения

Числовое выражение — это запись, составленная из чисел, знаков действий и, возможно, скобок. Например, 24 − 6 · 2 содержит числа, вычитание, умножение и скобок не имеет. Умение увидеть все действия помогает правильно установить последовательность вычислений.

Значение числового выражения — число, которое получается после выполнения всех действий в выражении. Например, значение выражения 8 + 3 · 2 равно 14, потому что сначала находят произведение 3 · 2. Этот результат нужен, чтобы отличать само выражение от ответа, полученного при его вычислении.

Порядок действий — правила, определяющие, какое действие выполнять первым, каким продолжить вычисления и какое сделать последним. Без таких правил выражение можно было бы понимать по-разному. Порядок действий делает вычисление однозначным и помогает не менять результат случайно.

Скобки — знаки, которые указывают, какие действия нужно выполнить прежде остальных. В выражении 7 · (5 + 1) сначала находят сумму в скобках, а затем умножают. Скобки позволяют специально изменить обычную последовательность действий и выделить отдельную часть выражения.

Как это устроено

Сначала выполняют действия в скобках, потому что скобки выделяют самостоятельную часть выражения. Если скобки вложены одна в другую, начинают с самых внутренних: их результат нужен для вычисления следующих скобок. Только после полного вычисления скобочной части переходят к действиям вне неё.

Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, поскольку они находят отдельные части выражения. Например, в записи 5 + 4 · 3 сначала определяют, сколько составляет 4 · 3, а затем прибавляют полученный результат к 5. Если начать со сложения, изменится смысл группировки действий и получится другой ответ.

Умножение и деление находятся на одной ступени, поэтому среди них нет постоянного «главного» действия. Их выполняют слева направо, следуя записи: в выражении 48 : 6 · 2 сначала делят 48 на 6, затем умножают результат на 2. Такой порядок сохраняет последовательность исходного выражения.

Сложение и вычитание также имеют одинаковый приоритет и выполняются слева направо. Например, в выражении 20 − 7 + 3 сначала находят 20 − 7, а потом прибавляют 3. Нельзя считать, что сложение всегда нужно делать раньше вычитания или наоборот.

Внутри скобок действуют те же правила, что и в выражении без скобок. Поэтому в записи 2 · (9 − 3 · 2) сначала выполняют умножение внутри скобок, затем вычитание, а после этого действие вне скобок. Чтобы не сбиться, удобно сначала отметить порядок действий, а затем записывать промежуточные результаты после каждого шага.

Порядок выполнения действий в числовом выражении

Пользуйся таблицей сверху вниз: сначала проверь скобки, затем найди умножение и деление, а потом сложение и вычитание. На каждом уровне двигайся слева направо. Если действий какого-то уровня нет, переходи к следующему.

Разбор задач

Задача 1. Вычислите 18 − 3 · 4.

Скобок в выражении нет, поэтому сразу сравниваем приоритеты действий. Умножение выполняют раньше вычитания, значит, сначала нужно найти произведение 3 и 4. Только после этого можно выполнить вычитание.

1. Выполняем умножение: 3 · 4 = 12.
2. Подставляем промежуточный результат: 18 − 12.
3. Выполняем вычитание: 18 − 12 = 6.

Ответ: 6. Если посчитать слева направо без учёта приоритета, получится неверный результат, поэтому порядок нужно определить до вычислений.

Задача 2. Вычислите 36 : 6 · 2.

В выражении есть только деление и умножение, а эти действия имеют одинаковый приоритет. Значит, нельзя автоматически считать деление более важным: нужно идти слева направо. Первым будет действие, записанное левее.

1. Выполняем деление: 36 : 6 = 6.
2. Получаем выражение 6 · 2.
3. Выполняем умножение: 6 · 2 = 12.

Ответ: 12. Проверка по записи показывает, что сначала использована левая операция, а затем правая, как и требует правило для действий одной ступени.

Задача 3. Вычислите 48 − (12 + 8 : 4) · 3.

Сначала рассматриваем скобки, но и внутри них устанавливаем собственный порядок действий. В скобках есть сложение и деление, поэтому сначала выполняем деление. После нахождения скобочной части переходим к умножению и затем к вычитанию вне скобок.

1. В скобках выполняем деление: 8 : 4 = 2.
2. Находим значение скобок: 12 + 2 = 14.
3. Выполняем умножение вне скобок: 14 · 3 = 42.
4. Выполняем вычитание: 48 − 42 = 6.

Ответ: 6. Важная проверка решения: скобки были полностью вычислены до выполнения действий, стоящих слева и справа от них.

Типичные ошибки

Выполнять всё строго слева направо. Так иногда сначала складывают или вычитают, хотя рядом есть умножение или деление. Ошибку предотвращает проверка: сначала отметьте скобки и действия второй ступени.

Считать деление важнее умножения или сложение важнее вычитания. Эти действия имеют одинаковый приоритет, поэтому их выполняют слева направо. Проверьте себя: среди одинаковых знаков найдите самый левый и начните с него.

Начинать вычисления вне скобок. Скобки задают первоочередную часть выражения, поэтому внешний результат может зависеть от неё. Перед решением убедитесь, что значение каждой скобочной части уже найдено.

Менять порядок ради удобного ответа. Произвольная перестановка действий изменяет выражение и часто приводит к другому числу. Сверяйте каждый шаг с таблицей приоритетов и сохраняйте исходный порядок действий одной ступени.

Связь с другими темами

До изучения порядка действий нужно уверенно выполнять сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел. Иначе ошибка в самом вычислении может смешаться с ошибкой в выборе последовательности действий. Поэтому сначала полезно повторить таблицу умножения и правила действий с натуральными числами.

Эти правила применяются не только к натуральным числам. Они нужны при вычислении выражений с дробями, десятичными числами и буквами, поэтому порядок действий становится основой для более сложных вычислений.

Что запомнить

• Действия в скобках выполняют прежде остальных.
• Внутри скобок соблюдают обычный порядок действий.
• Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания.
• Умножение и деление одинакового приоритета выполняют слева направо.
• Сложение и вычитание одинакового приоритета выполняют слева направо.
• Промежуточные результаты полезно записывать.