"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В.
Порядок выполнения действий — правило, которое помогает вычислять числовые выражения однозначно и получать правильный ответ. Сначала выполняют действия в скобках, затем возведение в степень, после — умножение и деление, а в конце — сложение и вычитание. Действия одного приоритета выполняют слева направо. Это правило пригодится не только при вычислениях: оно помогает правильно читать формулы и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Порядок выполнения действий — правило, по которому определяют, какие действия выполнять раньше, чтобы получить правильное значение выражения. Например, в записи 2 + 3 · 4 нельзя просто считать подряд: сначала нужно определить приоритет действий. Это правило позволяет всем одинаково понимать одну и ту же запись и не получать разные ответы.
Действия первой ступени — сложение и вычитание; если в выражении есть только они, их выполняют по порядку слева направо. Например, в выражении 18 − 6 + 2 сначала выполняют вычитание, а затем сложение. Такое правило нужно потому, что сложение и вычитание имеют одинаковый приоритет.
Действия второй ступени — умножение и деление; если в выражении есть только они, их выполняют по порядку слева направо. Так, в выражении 24 : 3 · 2 сначала делят 24 на 3, а потом результат умножают на 2. Умножение не считается важнее деления, и наоборот.
Скобки — знак, указывающий, что заключённые в них действия нужно выполнить раньше остальных. Например, в выражении 5 · (8 − 3) сначала находят разность в скобках, а потом умножают результат на 5. Скобки нужны, чтобы явно показать, какую часть выражения следует вычислить первой.
Правило порядка действий нужно потому, что одну и ту же запись без общих договорённостей можно прочитать по-разному. Например, выражение 2 + 3 · 4 можно было бы посчитать слева направо и получить 20 либо сначала выполнить умножение и получить 14. Единый порядок устраняет такую неоднозначность. Поэтому значение выражения не зависит от того, кто его вычисляет.
Действия в скобках выполняют первыми, потому что скобки выделяют отдельную часть выражения. Сначала находят её значение, а затем используют полученное число в оставшихся вычислениях. Если скобки вложены друг в друга, начинают с внутренних: внешнее выражение зависит от результата внутри них. Например, в 2 · (7 − (5 − 2)) сначала находят 5 − 2, затем вычисляют разность в больших скобках.
Умножение и деление выполняют раньше сложения и вычитания, чтобы выражение без скобок читалось согласованно. Умножение показывает, сколько раз берётся число, а деление связано с обратным действием; эти операции образуют более тесную часть вычисления, чем последующее сложение или вычитание. Поэтому в выражении 6 + 3 · 4 сначала находят произведение. Скобки позволяют поменять этот порядок, если требуется сначала сложить.
Действия одной ступени выполняют слева направо, поскольку среди них нет отдельного правила, которое делало бы одно действие главнее другого. Поэтому в выражении 20 : 5 · 2 сначала выполняют деление, затем умножение. Точно так же в выражении 18 − 6 + 2 сначала вычитают, а потом складывают. Если выполнить второе действие первым, можно изменить значение выражения.
Если в выражении есть степени, сначала учитывают скобки, затем возведение в степень, умножение и деление, а после — сложение и вычитание. Такая последовательность позволяет определить значение каждого числа до того, как оно войдёт в более крупное действие. Например, в 2 · (15 − 3²) + 16 : 4 сначала находят 3², затем вычисляют скобки, после этого выполняют умножение и деление и в конце складывают результаты. Показатель степени относится к своему основанию, поэтому область его действия важно читать внимательно.
| Что есть в выражении | Как выполнять |
|---|---|
| Действия в скобках | Выполнить в первую очередь; при вложенных скобках начать с внутренних. |
| Возведение в степень | Выполнить после скобок и до умножения, деления, сложения и вычитания. |
| Умножение и деление | Выполнить после степеней, слева направо. |
| Сложение и вычитание | Выполнить после умножения и деления, слева направо. |
| Действия одной ступени | Выполнить в порядке записи слева направо. |
Пользуйся таблицей как последовательностью проверок: найди скобки, затем степени, потом действия второй и первой ступени. На каждом этапе выполняй действия одного приоритета слева направо. Если какого-либо вида действий в выражении нет, переходи к следующему.
Задача 1. Вычислите 18 − 6 + 2. Здесь есть только сложение и вычитание, то есть действия одной ступени. Поэтому читаем выражение слева направо, не меняя порядок чисел. После первого действия полученный результат подставляем в выражение.
Ответ: 14.
Задача 2. Вычислите 24 : 3 · 2 + 5. Сначала выделяем действия второй ступени: деление и умножение. Их нужно выполнить раньше сложения и в порядке записи, то есть слева направо. Только после этого прибавляем 5.
Ответ: 21. Если бы начать с умножения 3 · 2, порядок действий оказался бы нарушен.
Задача 3. Вычислите 2 · (15 − 3²) + 16 : 4. В выражении есть скобки, степень, умножение, деление и сложение. Сначала находим степень внутри скобок, затем значение скобок. После этого умножение и деление выполняются раньше сложения.
Ответ: 16. Показатель 2 относился только к числу 3, а не ко всему произведению.
Ошибка: сначала складывать или вычитать, а потом умножать. Так делают, когда читают выражение просто слева направо, не учитывая приоритет. Проверь себя: до сложения и вычитания найди все умножения и деления, если они не заключены в скобки. Например, в 2 + 3 · 4 сначала вычисляется произведение.
Ошибка: считать умножение важнее деления или сложение важнее вычитания. Эти действия одной ступени, поэтому их выполняют слева направо. Ошибка возникает, если запомнить названия действий, но не правило для равного приоритета. Чтобы проверить себя, отметь действия одного уровня и посмотри, какое из них стоит левее.
Ошибка: выполнять действия вне скобок раньше действий внутри них. Скобки иногда воспринимают как обычные знаки, хотя они задают первоочередной порядок. Перед вычислением проверь, не осталось ли скобок, и при вложенных скобках начни с самых внутренних. Только после нахождения их значения переходи к остальной записи.
Ошибка: считать, что 2 · 3² означает (2 · 3)². Показатель относится к основанию 3, потому что именно оно стоит перед ним; умножение на 2 не входит в степень. Такая ошибка появляется, если мысленно добавлять скобки, которых в записи нет. Сверь основание и показатель: чтобы возвести в квадрат всё произведение, нужно записать (2 · 3)².
Для вычисления выражений нужно уверенно выполнять сложение, вычитание, умножение и деление натуральных чисел. Также важно уметь находить значение степени, например понимать, что 3² = 3 · 3. Если сами вычислительные действия пока вызывают затруднения, порядок их выполнения можно определить правильно, но получить ошибку в счёте.
Порядок действий применяется не только в числовых выражениях. Он помогает читать формулы, где несколько операций записаны вместе, и правильно подставлять в них числа. То же правило нужно при решении уравнений: сначала вычисляют выражения с учётом скобок и приоритета действий, а затем находят неизвестное.
Почему умножение выполняют раньше сложения?
Так условились, чтобы выражение без скобок имело одно общее значение. Если сначала складывать, результат мог бы зависеть от того, как человек прочитал запись. Скобками можно изменить обычный порядок.
Что делать первым, если в выражении есть и умножение, и деление?
Умножение и деление имеют одинаковый приоритет, поэтому их выполняют слева направо. Сложение и вычитание в это время пропускают.
В каком порядке выполнять сложение и вычитание?
Сложение и вычитание имеют одинаковый приоритет. Выполняй их по порядку слева направо, если скобки не задают иной порядок.
Если скобок несколько, с каких начать?
Начинай с действий в самых внутренних скобках — тех, внутри которых нет других скобок. Затем переходи к внешним, каждый раз вычисляя выражение внутри них.
К чему относится показатель степени в записи выражения?
Показатель степени относится к основанию, которое стоит перед ним. Например, в записи 2 · 3² возводят в квадрат только число 3. Чтобы возвести в квадрат произведение 2 · 3, его заключают в скобки: (2 · 3)².
Урок 9. Порядок выполнения действий
