Урок 8. Угол

Определения и обозначения

Угол — фигура, образованная двумя лучами с общей начальной точкой. Лучи называют сторонами угла, а часть плоскости между ними — внутренней областью. Стороны и внутренняя область вместе помогают представить угол как целую геометрическую фигуру. Это определение нужно, чтобы отличать угол от отдельных линий на чертеже.

Вершина угла — общая начальная точка его сторон. Например, если лучи начинаются в точке O, то O является вершиной. Именно эта точка задаёт положение угла: если переместить её или изменить направление сторон, получится угол в другом месте или с другой величиной. Поэтому при описании угла сначала находят его вершину.

Стороны угла — два луча, которые имеют общее начало и образуют угол. Их называют по начальной точке и ещё одной точке на каждом луче: например, OA и OB. Буква вершины в обозначениях лучей стоит первой, потому что луч начинается именно в ней. Стороны не ограничены выбранными точками и продолжаются дальше в одном направлении.

Угол можно обозначить одной заглавной буквой у вершины, например ∠O, если не возникает путаницы. Когда требуется указать, какие стороны образуют угол, используют три буквы: ∠AOB. Буква вершины O в такой записи стоит посередине, а A и B обозначают точки на сторонах. Такой способ нужен, если у одной вершины отмечено несколько углов.

Как это устроено

Чтобы получить угол, проводят два луча из одной точки. Каждый луч задаёт направление от общей точки, поэтому промежуток между направлениями становится внутренней областью угла. Общая точка называется вершиной не случайно: именно из неё выходят обе стороны, и без неё эти лучи не образовали бы угол с общей вершиной. Чем сильнее отличаются направления лучей, тем больше раскрытие между сторонами.

В записи ∠AOB буква O стоит в середине, потому что она обозначает точку, общую для обоих лучей. Буква A относится к одному лучу, а B — к другому, поэтому такая запись перечисляет точки в порядке «сторона — вершина — сторона». Если поставить вершину первой или последней, запись перестанет показывать её особое положение. При чтении обозначения полезно сразу проверить, какая буква повторяется в названиях обеих сторон.

Чтобы определить элементы угла по рисунку, сначала находят точку, из которой выходят обе линии: это вершина. Затем прослеживают каждую линию от неё и проверяют, продолжается ли она в одном направлении; такие линии являются сторонами-лучами. Внутренняя область расположена между сторонами, а не снаружи от них. Если на чертеже возле вершины есть несколько углов, ориентируются на отмеченную область или на полное обозначение тремя буквами.

Сравнивать углы можно по тому, насколько широко раскрыты их стороны. Если величины заданы в градусах, достаточно сравнить числа: большему числу градусов соответствует больший угол. При этом рисунок можно повернуть или переместить, но раскрытие между сторонами останется прежним. Длина сторон тоже ничего не меняет: длинные лучи не делают угол больше, а короткие — меньше.

Градусная мера показывает, насколько раскрыт угол, и помогает отнести его к определённому виду. Угол меньше прямого, то есть меньше 90°, называют острым; равный 90° — прямым. Если угол больше 90°, но не достигает 180°, он тупой, а при 180° — развёрнутый. Эти границы позволяют классифицировать угол, не опираясь на то, как он нарисован.

Виды углов и их градусные меры

Чтобы определить вид угла, сравните его градусную меру с границами 90° и 180°. Равенство границе важно: 90° — прямой угол, а 180° — развёрнутый, не острый и не тупой. Например, 89° — острый, а 91° — тупой.

Разбор задач

Задача 1. Даны лучи OA и OB с общей начальной точкой O. Назвать вершину и стороны угла, записать его обозначение. Сначала найдём общую точку лучей, потому что именно она является вершиной. Затем назовём лучи и составим запись, поставив вершину в середину.

1. Оба луча начинаются в точке O, значит, вершина угла — O.
2. Стороны угла — лучи OA и OB.
3. При обозначении тремя буквами ставим точку вершины между точками на сторонах: ∠AOB или ∠BOA.

Ответ: вершина — O, стороны — OA и OB; угол обозначается ∠AOB или ∠BOA. Оба порядка букв допустимы, потому что стороны перечислены с разных сторон от одной и той же вершины. Если рядом у вершины только один угол, его можно кратко обозначить ∠O.

Задача 2. Определить вид углов с градусными мерами 38°, 90°, 127° и 180°. Здесь уже известны величины, поэтому стороны и рисунок искать не требуется. Для каждого числа проверим, между какими границами оно находится или с какой границей совпадает.

1. 38° меньше 90°, значит, это острый угол.
2. 90° равен прямому углу, значит, это прямой угол.
3. 127° больше 90°, но меньше 180°, значит, это тупой угол.
4. 180° равен развёрнутому углу, значит, это развёрнутый угол.

Ответ: 38° — острый, 90° — прямой, 127° — тупой, 180° — развёрнутый. Проверка границ помогает не перепутать прямой угол с тупым, а развёрнутый — с тупым. Для классификации достаточно сравнить градусную меру с 90° и 180°.

Задача 3. Угол A равен 64°, а угол B равен 118°; сравнить углы и определить вид каждого. Сначала сопоставим числа, поскольку градусная мера напрямую показывает величину угла. После сравнения отдельно отнесём каждую меру к виду по границам 90° и 180°.

1. Так как 64° меньше 118°, угол A меньше угла B.
2. 64° меньше 90°, поэтому угол A острый.
3. 118° больше 90°, но меньше 180°, поэтому угол B тупой.

Ответ: угол A меньше угла B; A — острый, B — тупой. Сравнение и определение вида — разные действия: сначала сравниваем меры, затем проверяем каждую меру по границам. Длина сторон или наклон рисунка не могут изменить этот вывод.

Типичные ошибки

Иногда вершиной называют любую заметную точку на рисунке. Так происходит, если не проверяют, откуда начинаются оба луча; вершина — только их общая начальная точка. Для самопроверки проследите обе стороны до начала и убедитесь, что они сходятся в одной точке.

В обозначении тремя буквами вершину порой ставят первой или последней. Это ошибка, потому что вершина общая для обеих сторон и должна находиться между буквами, обозначающими точки на лучах. Проверьте запись по названиям сторон: буква вершины должна встречаться в обоих лучах и стоять в середине обозначения угла.

Сторону угла иногда принимают за отрезок между вершиной и отмеченной точкой. Путаница возникает потому, что на рисунке луч часто показывают короткой линией, но сторона продолжается в одном направлении без конца. Проверьте, изображён ли луч стрелкой или подразумевается ли его продолжение; сторона начинается в вершине и не заканчивается у выбранной точки.

Угол могут считать большим из-за длинных сторон или малого — из-за коротких. Длина линий влияет на внешний вид рисунка, но не на раскрытие между направлениями. Чтобы проверить себя, сравните градусные меры или мысленно совместите вершины и одну сторону углов: положение изображения и длина лучей не определяют величину.

Связь с другими темами

Для изучения углов нужны понятия точки, прямой и луча, а также умение обозначать геометрические объекты буквами. Позже углы измеряют транспортиром и используют при изучении смежных и вертикальных углов. Они также входят в описание треугольников и многоугольников, помогают разбирать свойства параллельных прямых и выполнять геометрические построения.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общей начальной точкой.
• Общая начальная точка лучей называется вершиной угла.
• Стороны угла начинаются в его вершине.
• При обозначении тремя буквами буква вершины пишется в середине.
• Острый угол меньше 90°, прямой равен 90°, тупой больше 90°, но меньше 180°.
• Развёрнутый угол равен 180°.
• Величина угла не зависит от длины его сторон и положения на рисунке.