Урок 9. Угол

Определения и обозначения

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. В него входят сами лучи и часть плоскости, расположенная между ними. Это понятие нужно, чтобы описывать поворот и взаимное положение линий.

Вершина угла — общее начало лучей, образующих угол. На чертеже её обозначают заглавной буквой, например точкой O. По вершине легко найти место, из которого расходятся обе стороны.

Стороны угла — лучи, образующие этот угол. Их называют по вершине и ещё одной точке на каждом луче, например лучи OA и OB. Стороны можно продолжать сколько угодно, но их направление и раскрытие не изменятся.

Градусная мера угла — число, показывающее величину поворота от одной стороны угла к другой. Её записывают числом и знаком градуса: 40°, 90°, 128°. Такая мера позволяет сравнивать углы независимо от того, как они нарисованы.

Как это устроено

Если из одной точки провести два луча, они разделят плоскость на области. Углом называют сами лучи вместе с выбранной областью между ними, потому что одно лишь изображение двух линий не показывает, какую часть плоскости рассматривают. Чем сильнее одна сторона отклонена от другой, тем больше раскрытие угла.

Угол обозначают тремя заглавными буквами: первая принадлежит одной стороне, средняя — вершине, третья — другой стороне. Например, в записи ∠AOB буква O обязательно стоит в центре, иначе обозначение будет неверным. Одной буквой угол можно назвать тогда, когда около данной вершины изображён только один угол и путаницы не возникнет.

Чтобы измерить угол транспортиром, сначала совмещают его центр с вершиной угла. Затем одну сторону прикладывают к линии, проходящей через нулевую отметку, и выбирают ту шкалу, где отсчёт начинается с нуля у этой стороны. Показание снимают там, где вторую сторону пересекает шкала, поэтому результат получается в градусах.

Величина угла определяется тем, насколько повернулась одна сторона относительно другой. Если лучи удлинить, их направление и угол между ними останутся прежними. Поэтому маленький рисунок и большой рисунок могут изображать углы одной и той же величины.

Градусная мера помогает распознать вид угла без сравнения на глаз. Угол меньше 90° называют острым, ровно 90° — прямым, а между 90° и 180° — тупым. Если стороны лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны, угол равен 180° и называется развёрнутым.

Виды углов по градусной мере

Чтобы определить вид угла, сначала найдите его градусную меру, а затем сравните её с 90° и 180°. Например, мера 72° указывает на острый угол, а мера 150° — на тупой. Если мера неизвестна, можно сначала оценить угол, а затем проверить себя транспортиром.

Разбор задач

Задача 1

Условие: на чертеже изображены лучи OA и OB с общим началом O. Нужно назвать вершину и стороны угла. Сначала ищем точку, из которой выходят оба луча, а потом называем сами лучи.

1. Общим началом лучей OA и OB является точка O.
2. Значит, точка O — вершина угла.
3. Сторонами являются лучи OA и OB.

Ответ: вершина угла — O, стороны — лучи OA и OB. Сам угол можно обозначить ∠AOB или ∠BOA, потому что буква O в обоих случаях стоит посередине.

Задача 2

Условие: нужно построить угол AOB величиной 65° с помощью транспортира. Для правильного обозначения одна сторона должна быть лучом OA, а вторая после построения получит название OB.

1. Проведите луч OA с началом в точке O.
2. Поставьте центр транспортира в точку O и совместите нулевую отметку выбранной шкалы с лучом OA.
3. Сделайте отметку у числа 65° на этой шкале и проведите из O луч через отметку.

Ответ: получен угол AOB, равный 65°. Проверка состоит в том, чтобы снова измерить его транспортиром и убедиться, что сторона OA совпадает с нулём, а луч OB проходит через отметку 65°.

Задача 3

Условие: угол имеет меру 128°. Нужно определить его вид и узнать, на сколько градусов он больше прямого угла. Сначала сравним 128° с границами видов, затем выполним вычитание.

1. Число 128° больше 90°, но меньше 180°.
2. Следовательно, данный угол является тупым.
3. Разность с прямым углом равна 128° − 90° = 38°.

Ответ: угол тупой, он больше прямого угла на 38°. Вычитание показывает именно превышение меры, а не величину самого угла.

Типичные ошибки

Иногда вершиной называют точку, лежащую где-то на стороне угла. Ошибка появляется, если не проверить, откуда начинаются оба луча. Проверьте, что выбранная точка является общим началом двух лучей.

При записи тремя буквами букву вершины иногда ставят первой или последней. Так происходит, когда ученик перечисляет точки без учёта их роли. Найдите общее начало лучей и поставьте его обозначение в середину.

Удлинение сторон иногда принимают за увеличение угла. На самом деле меняется только длина лучей, а их направления остаются прежними. Наложите один угол на другой или сравните раскрытие сторон.

При работе с транспортиром можно выбрать не ту шкалу. Это случается, если нулевая отметка не совпадает с выбранной стороной или отсчёт начинают с другого края. Перед чтением проверьте центр, ноль и направление шкалы.

Связь с другими темами

До изучения углов нужно уметь распознавать луч, знать его начало и обозначать геометрические объекты заглавными буквами. Эти знания помогают правильно находить вершину и стороны угла. Без них легко перепутать точку и луч.

Измерение и сравнение углов пригодятся при изучении треугольников и других многоугольников. Они нужны также для построений с транспортиром и определения свойств фигур. Например, по углам можно описывать форму треугольника и положение его сторон.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общим началом.
• Общее начало лучей — вершина угла.
• Лучами, образующими угол, являются его стороны.
• В обозначении угла тремя буквами буква вершины стоит посередине.
• Величина угла не зависит от длины его сторон.
• Прямой угол равен 90°, развёрнутый — 180°.