Урок 10. Имя угла

Определения и обозначения

Угол — геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общим началом. Лучи расходятся из одной точки и задают две стороны фигуры. Это определение помогает увидеть угол на чертеже и отличить его от отдельного луча или отрезка.

Вершина угла — общая точка двух лучей, образующих угол. Именно из неё начинаются оба луча. Знание вершины нужно, чтобы правильно назвать угол и понять, где он расположен.

Стороны угла — лучи, имеющие общее начало и образующие угол. У каждой стороны есть вершина и направление от неё. По сторонам можно определить, какой именно угол показан на чертеже.

Имя угла — обозначение, по которому угол называют и отличают от других углов. Для этого используют три буквы, одну букву или число. Правильное имя позволяет точно записывать условие задачи и отвечать по чертежу.

Как это устроено

Угол обозначают знаком ∠, который ставят перед его именем: ∠ABC. В записи из трёх заглавных букв две крайние буквы выбирают на разных сторонах угла, а среднюю ставят для вершины. Такой порядок нужен потому, что именно вершина является общей точкой двух лучей и определяет, откуда угол начинается.

В имени ∠ABC вершина — B, поскольку эта буква находится посередине. Лучы, образующие угол, проходят через точки A и C: это лучи BA и BC. Если поставить B не в середину, запись уже не покажет общую начальную точку лучей, поэтому понять угол по имени будет трудно или невозможно.

Крайние буквы можно поменять местами: ∠ABC и ∠CBA обозначают один и тот же угол. При такой замене остаётся прежней средняя буква B, а значит, сохраняется вершина. Меняется только порядок, в котором названы точки на сторонах, но сами стороны и угол остаются теми же.

Иногда угол обозначают одной буквой, например ∠B. Так делают, когда около вершины B изображён только один угол и другой вариант понять нельзя. Если из одной вершины выходят несколько лучей и образуется несколько углов, одной буквы недостаточно: нужно использовать три буквы или номер.

Дополнительные номера помогают различать углы с общей вершиной: например, ∠1 и ∠2. Это особенно удобно, когда на рисунке несколько лучей выходят из одной точки и буквенная запись получается громоздкой. Номер выбирают прямо на чертеже, обычно внутри соответствующего угла, чтобы было ясно, какую область он обозначает.

Как назвать угол на рисунке

Сначала найдите общую начальную точку лучей — это вершина. Затем проверьте, есть ли на обеих сторонах обозначенные точки, и выберите трёхбуквенное имя, поставив вершину в середину. Если у вершины несколько углов, сравните их с номерами или используйте разные точки на сторонах.

Таблица помогает выбрать обозначение после проверки чертежа. Если углов у вершины несколько, предпочтительнее три буквы или номер. Одну букву используйте только при однозначном обозначении.

Разбор задач

Задача 1

На рисунке угол образован лучами BA и BC. Требуется назвать его тремя буквами. В записи нужно использовать точки, лежащие на его сторонах, и отдельно указать общую начальную точку лучей.

1. Определяем общую начальную точку лучей BA и BC: это B.
2. Ставим букву B на второе место, потому что вершина в трёхбуквенном имени должна быть средней.
3. Записываем крайние точки A и C в любом порядке: ∠ABC или ∠CBA.

Ответ: угол можно назвать ∠ABC или ∠CBA. Обе записи обозначают один и тот же угол, потому что имеют вершину B и стороны BA и BC.

Задача 2

У вершины O изображены два угла. Нужно выяснить, можно ли каждый из них назвать ∠O. Одна буква указывает только на вершину, поэтому надо проверить, достаточно ли этого для выбора одного угла.

1. Находим вершину обоих углов: у каждого она обозначена буквой O.
2. Замечаем, что одной записи ∠O недостаточно: она одинаково подходит к двум углам.
3. Выбираем для каждого угла три буквы по точкам на его сторонах или используем номера, например ∠1 и ∠2.

Ответ: назвать оба угла ∠O нельзя, потому что обозначение неоднозначно. Нужно применить трёхбуквенные имена или номера.

Задача 3

На рисунке отмечен угол ∠KLM. Требуется назвать его вершину и стороны. Для этого достаточно внимательно посмотреть на место средней буквы и определить лучи, проходящие через крайние точки.

1. Находим среднюю букву в имени KLM: это L, значит, L — вершина.
2. Берём первую крайнюю букву K и соединяем её с вершиной L: получаем луч LK.
3. Берём вторую крайнюю букву M и получаем второй луч LM.

Ответ: вершина угла — L, его стороны — лучи LK и LM. Крайние буквы показывают точки на сторонах, а не вершину.

Типичные ошибки

Некоторые ставят букву вершины первой или последней в имени из трёх букв. Так происходит, когда ученик ориентируется на порядок записи лучей, а не на их общую начальную точку. Проверьте себя: вершина должна стоять строго посередине, например в ∠ABC это B.

Иногда считают, что крайние буквы нельзя менять местами. Ошибка появляется из-за привычки воспринимать запись как строгое направление. Сравните среднюю букву и стороны: если вершина и обе точки на сторонах те же, ∠ABC и ∠CBA называют один угол.

Несколько углов с общей вершиной могут ошибочно обозначить одной буквой. Одно имя не показывает, какой именно угол выбран. Посмотрите на чертёж: при наличии нескольких углов используйте три буквы или номер.

Ещё одна ошибка — принять точку на стороне за вершину. Вершина является общей начальной точкой обоих лучей, а остальные отмеченные точки лежат на разных сторонах. Для проверки проследите, от какой точки начинаются оба луча.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны знания о точке, луче и общей начальной точке лучей. Имена углов помогают читать геометрические чертежи и кратко записывать условия задач. Умение различать углы понадобится при изучении их видов, измерения и свойств геометрических фигур.

Что запомнить

• Угол образуют два луча с общим началом.
• Общее начало лучей — вершина угла.
• Стороны угла — образующие его лучи.
• В имени из трёх букв вершина стоит посередине.
• Крайние буквы в имени угла можно поменять местами.
• Одной буквой угол называют, только если его нельзя перепутать с другим.