МНОГОЗНАЧНЫЕ ЧИСЛА. АЛГОРИТМЫ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

Определения и обозначения

Многозначное число — число, для записи которого требуется две или более цифры. Каждая цифра показывает количество единиц определённого разряда, поэтому одна и та же цифра может обозначать разные величины. Например, в числе 55 одна пятёрка означает 5 единиц, а другая — 5 десятков.

Разряд — место цифры в записи числа, определяющее её значение. Справа налево располагаются разряды единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, сотен тысяч и далее. Знание разрядов помогает понять состав числа и выполнять действия с цифрами, не смешивая единицы с десятками.

Класс разрядов — группа из трёх соседних разрядов. В записи выделяют класс единиц, класс тысяч, класс миллионов и следующие классы; в каждом из них есть единицы, десятки и сотни. Такое объединение упрощает чтение и запись больших чисел.

Алгоритм арифметического действия — последовательность шагов, по которой выполняют вычисление. Письменные алгоритмы задают порядок действий, расположение чисел и правила перехода между разрядами. Благодаря этому большие вычисления можно выполнять последовательно и проверять по шагам.

Как это устроено

Запись многозначного числа основана на десятичной системе: десять единиц одного разряда образуют одну единицу следующего разряда. Поэтому цифра получает значение не сама по себе, а в зависимости от своего места. Например, число 352 означает 3 сотни, 5 десятков и 2 единицы, то есть 300 + 50 + 2. Такое представление называют суммой разрядных слагаемых, и оно объясняет, почему одинаковая цифра в разных местах даёт разные вклады.

Чтобы выделить классы, отсчитывай цифры от конца записи по три и мысленно разделяй группы пробелами. Читать число удобнее слева направо: сначала произнести число в классе, затем назвать этот класс, например «тысяч» или «миллионов». Класс единиц обычно не называют. Если класс целиком состоит из нулей, его пропускают, а нули внутри других классов сохраняют как обозначение пустых разрядов.

При сложении и вычитании записи располагают так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками и так далее. Вычисления начинают справа, потому что результат в разряде единиц может повлиять на следующий разряд. Если сумма в разряде достигла десяти или больше, десяток переносят влево; при вычитании, когда цифры не хватает, занимают единицу следующего разряда. Так сохраняется правильный разрядный состав результата.

При письменном умножении каждую цифру второго множителя используют по очереди, начиная с единиц, и получают отдельные неполные произведения. Произведение при умножении на десятки записывают со сдвигом на один разряд, на сотни — на два: сдвиг показывает, какое значение имеет цифра множителя. Затем неполные произведения складывают. Это равносильно умножению на сумму разрядных слагаемых, поэтому ни один разряд не теряется.

При делении сначала находят слева в делимом наименьшую часть, которая не меньше делителя: это первое неполное делимое. Определяют, сколько раз делитель помещается в этой части, записывают цифру частного и переходят к следующему разряду, присоединяя очередную цифру делимого. Если очередное неполное делимое меньше делителя, в соответствующем разряде частного может понадобиться ноль. После деления проверяют результат умножением частного на делитель и прибавлением остатка.

Письменные алгоритмы арифметических действий

Перед вычислением проверь, что числа записаны по разрядам, а затем следуй шагам нужного алгоритма. Способ проверки помогает обнаружить ошибку, но не заменяет аккуратную запись промежуточных действий.

Разбор задач

Записать число 508 034 207 в виде суммы разрядных слагаемых и прочитать его

Сначала сгруппируем цифры справа налево: 508 | 034 | 207. Это классы миллионов, тысяч и единиц. В каждом классе определим значения ненулевых цифр, а нулевые разряды не включим в сумму.

1. В классе миллионов цифры 5, 0 и 8 означают 500 миллионов, 0 десятков миллионов и 8 миллионов. Его вклад равен 500 000 000 + 8 000 000.
2. Класс тысяч 034 даёт 30 000: ноль сотен тысяч и четыре тысячи не добавляют слагаемых, а цифра 3 обозначает 3 десятка тысяч. Класс единиц 207 даёт 200 + 7, потому что десятков в нём нет.
3. Объединим ненулевые слагаемые: 508 034 207 = 500 000 000 + 8 000 000 + 30 000 + 4 000 + 200 + 7. Читаем слева направо, не произнося класс тысяч как отдельную нулевую часть.

Ответ: пятьсот восемь миллионов тридцать четыре тысячи двести семь.

Вычислить столбиком 47 586 + 8 739 и проверить результат обратным действием

Запишем числа так, чтобы разряды совпадали; число 8 739 выровняем по единицам, а не по первой цифре. Считаем справа налево и переносим десятки, если сумма цифр в разряде не помещается в одну цифру. Проверка вычитанием должна вернуть одно из исходных слагаемых.

1. Единицы: 6 + 9 = 15, записываем 5 и переносим 1 десяток. Десятки: 8 + 3 + 1 = 12, записываем 2 и переносим 1 сотню.
2. Сотни: 5 + 7 + 1 = 13, записываем 3 и переносим 1 тысячу. Тысячи: 7 + 8 + 1 = 16, записываем 6 и переносим 1 десяток тысяч.
3. В разряде десятков тысяч получаем 4 + 1 = 5. Для проверки вычтем из суммы второе слагаемое: 56 325 − 8 739 = 47 586, значит, вычисление согласуется с исходными данными.

Ответ: 56 325.

Вычислить столбиком 36 408 · 527, оценить порядок результата и проверить вычисление

Разложим второй множитель на разрядные слагаемые: 527 = 500 + 20 + 7. Поэтому найдём три неполных произведения, учитывая, что умножение на десятки и сотни даёт сдвиг записи. Перед проверкой оценим результат: 36 408 примерно равно 36 000, а 527 — примерно 500, значит, произведение должно быть около 18 миллионов.

1. Умножаем на 7: 36 408 · 7 = 254 856. Умножаем на 20: 36 408 · 2 = 72 816, затем учитываем десятки и получаем 728 160.
2. Умножаем на 500: 36 408 · 5 = 182 040, затем учитываем сотни и получаем 18 204 000. Сложим неполные произведения: 254 856 + 728 160 + 18 204 000 = 19 187 016.
3. Число 19 187 016 близко к оценке около 18 миллионов, значит, порядок результата правдоподобен. Для точной проверки можно разделить произведение на 527: должно получиться 36 408.

Ответ: 19 187 016.

Типичные ошибки

Ошибка: складывать или вычитать цифры, которые стоят не в одноимённых разрядах. Так случается, если числа выравнивают по левому краю или записывают неаккуратно. Проверь, что последние цифры стоят друг под другом, а каждый разряд расположен в своём столбце.

Ошибка: забыть перенос при сложении или занять единицу не из того разряда при вычитании. Причина часто в том, что ученик переходит к следующему столбцу, не проверив предыдущий результат. Пересчитай действия справа налево и проверь, что перенос увеличил соседний разряд, а заимствование уменьшило именно тот разряд, из которого его взяли.

Ошибка: записать неполные произведения без сдвига. Это происходит, когда цифру множителя умножают как обычное число, не учитывая, что она обозначает десятки или сотни. Сверь каждый промежуточный результат с разрядом цифры множителя и оцени, близко ли итог к ожидаемому порядку.

Ошибка: пропустить ноль в частном или неверно выделить неполное делимое. Так можно потерять разряд, если очередная часть делимого меньше делителя. На каждом шаге сравни неполное делимое с делителем и проверь, что каждая цифра частного соответствует своему разряду; затем выполни проверку умножением.

Связь с другими темами

Для работы с многозначными числами нужны знания о десятичной записи, разрядах и классах, таблица умножения и понимание смысла четырёх арифметических действий. Эти навыки позволяют не только считать, но и объяснять, почему каждый шаг алгоритма верен. Письменные вычисления помогают решать текстовые задачи с большими числами. Те же идеи разрядной записи и последовательного выполнения действий пригодятся при изучении десятичных дробей.

Что запомнить

• Значение цифры определяется её разрядом.
• Классы в записи числа отделяют справа налево по три разряда.
• При сложении и вычитании одноимённые разряды записывают друг под другом.
• Сложение и вычитание столбиком выполняют справа налево.
• При умножении учитывают разряд каждого неполного произведения.
• При делении каждый шаг связан с очередным неполным делимым и разрядом частного.
• Результат полезно проверять обратным действием или оценкой.