"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Умножение и деление в пределах 1000 помогают быстро находить произведения и частные, решать задачи о равных группах и проверять вычисления. Для этого используют разрядный состав числа: сотни, десятки и единицы считают по порядку, а при переходе к следующему разряду переносят или учитывают остаток. Круглые числа умножают с учётом нулей, деление проверяют умножением. Эти приёмы станут основой для вычислений с большими числами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Умножение — действие, которое заменяет сложение одинаковых слагаемых. Например, 3 · 4 означает, что число 4 взяли три раза: 4 + 4 + 4 = 12. Так удобнее считать группы одинакового размера, не записывая длинную сумму.
Множители — числа, которые перемножают; результат называется произведением. В записи 3 · 4 = 12 числа 3 и 4 — множители, а 12 — произведение. Множители показывают, сколько групп и сколько предметов в каждой группе, поэтому помогают представить смысл вычисления.
Деление — действие, обратное умножению. Оно помогает распределить количество поровну, например разложить 12 предметов в 3 равные группы, или найти число, которое при умножении на известный множитель даст известный результат. В обоих случаях нужно выяснить, какой результат соответствует условию.
Делимое, делитель и частное — числа в записи деления: делимое : делитель = частное. Делимое показывает, какое количество распределяют, делитель — на сколько равных частей делят или размер каждой группы, а частное — результат. Проверить деление без остатка можно умножением частного на делитель: должно получиться делимое.
Круглые десятки и сотни удобно представлять как несколько разрядных единиц: например, 300 — это 3 сотни. Поэтому при умножении 4 · 300 сначала считают 4 · 3 = 12, а затем понимают, что получились 12 сотен, то есть 1200. Нули нельзя просто отбросить: они показывают, в каком разряде находятся единицы числа.
Трёхзначное число при умножении на однозначное считают по разрядам, потому что число состоит из сотен, десятков и единиц. Умножают единицы, затем десятки и сотни, каждый раз учитывая перенос: если в промежуточном результате набралось 10 или больше единиц разряда, часть переходит в следующий разряд. Например, при умножении единиц 6 · 3 получается 18: записывают 8 единиц и переносят 1 десяток.
Круглые десятки и сотни делят на однозначное число, опираясь на разрядный состав и таблицу деления. Например, 600 : 3 — это 6 сотен разделить на 3, получится 2 сотни, то есть 200. Такой способ удобен, когда число разрядных единиц делится нацело; результат можно сразу проверить умножением.
При делении трёхзначного числа на однозначное начинают с высшего разряда, чтобы последовательно составить частное. Если разряд не делится нацело, оставшиеся единицы разряда переводят в единицы следующего разряда и объединяют с его цифрой. Так сохраняется всё исходное количество: например, 2 десятка и 4 единицы вместе образуют 24 единицы.
Оценка результата помогает заметить ошибку до проверки: можно прикинуть, каким по величине должно быть произведение или частное. Затем обратное действие проверяет точность вычисления: умножение можно проверить делением, а деление — умножением. Если при проверке число не совпало с исходным, нужно заново просмотреть переносы или остатки.
В таблице собраны основные приёмы и способы самопроверки. Сначала определи, какой случай подходит к примеру, затем выполни вычисление по указанным шагам. В последнем столбце выбери проверку, которая соответствует действию.
| Случай | Как выполнить | Что проверить |
|---|---|---|
| Умножение на круглые десятки и сотни | Умножить значащие цифры и учесть разряд множителя. | Оценить величину произведения и проверить делением. |
| Умножение трёхзначного числа на однозначное | Умножать по разрядам, перенося десятки в следующий разряд. | Повторить вычисление или разделить произведение на множитель. |
| Деление круглых десятков и сотен на однозначное число | Разделить разрядные единицы и записать результат в нужном разряде. | Умножить частное на делитель. |
| Деление трёхзначного числа на однозначное | Начать с высшего разряда, остаток объединять со следующей цифрой. | Умножить частное на делитель и сравнить с делимым. |
Число 200 состоит из двух сотен, поэтому нужно умножить 4 на 2 и сохранить разряд сотен. Такой разбор помогает не спутать 200 с числом 2. После вычисления полезно проверить, что результат больше 4 · 2 в сто раз.
Ответ: 800.
Здесь множимое состоит из единиц, десятков и сотен. Умножим каждый разряд на 3, не забывая переносить десятки, которые не помещаются в текущем разряде. Записывая результат по порядку, получим цифры единиц, десятков и сотен произведения.
Ответ: 708. Проверка: 708 : 3 = 236.
Известно общее число карандашей и количество в одной коробке, значит, нужно разделить 864 на 4. Начинаем с сотен, затем учитываем остаток и переходим к меньшим разрядам. В конце умножим найденное число коробок на 4, чтобы убедиться, что все карандаши распределены.
Ответ: понадобилось 216 коробок.
При умножении круглого числа иногда умножают только значащие цифры и забывают восстановить нули. Ошибка возникает, если принять 200 за 2, хотя нули показывают разряд. Проверь себя: 4 · 200 должно быть в сто раз больше, чем 4 · 2, поэтому ответ — 800, а не 8.
При умножении по разрядам можно не перенести десятки или записать перенос не в том разряде. Обычно так случается, когда вычисления ведут в уме и теряют промежуточный результат. Записывай перенос рядом с разрядом, к которому он относится, а затем проверь произведение делением на однозначный множитель.
При делении по разрядам ошибочно переходить дальше, не учитывая остаток предыдущего разряда. Тогда часть делимого пропадает, и частное получается неверным. Объединяй остаток со следующей цифрой: например, 2 десятка и 4 единицы — это 24 единицы; после вычисления проверь ответ умножением.
Частное может выглядеть правдоподобно, но одного этого недостаточно, чтобы считать деление проверенным. Ошибку легко пропустить, если оценивать только примерную величину ответа. Умножь частное на делитель и сравни результат с делимым: при делении без остатка числа должны совпасть.
Для этих вычислений нужны знание таблицы умножения и деления, понимание разрядного состава трёхзначных чисел и умение складывать с переходом через разряд. Если эти навыки пока даются трудно, полезно повторить их до решения примеров по разрядам. Здесь они помогают правильно считать и переносить десятки.
Приёмы пригодятся в текстовых задачах, где нужно находить равные группы, а также при вычислениях с многозначными числами. Понимание разрядов и переносов станет основой письменного умножения и деления. Проверка обратным действием поможет контролировать вычисления и в более сложных примерах.
Почему при умножении круглого числа нужно учитывать нули?
Нули показывают разряд числа: 200 — это 2 сотни, а не просто 2. Например, 4 · 200 = 4 · 2 сотни = 8 сотен, то есть 800.
Как понять, с какого разряда начинать деление?
Начинай с высшего разряда делимого: сначала смотри на сотни, затем на десятки и единицы. Если цифра разряда меньше делителя, объедини её с остатком предыдущего разряда и следующей цифрой.
Что делать с остатком при делении по разрядам?
Остаток нельзя забывать: его объединяют с цифрой следующего разряда. Например, остаток 2 десятка и 4 единицы образуют 24 единицы.
Как проверить деление умножением?
Умножь частное на делитель. Если деление выполнено без остатка, произведение должно равняться делимому.
Можно ли деление заменить подбором неизвестного множителя?
Да. Чтобы найти 864 : 4, можно спросить, какое число при умножении на 4 даёт 864. Подбор удобен для простых примеров, а деление по разрядам помогает действовать последовательно.
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ В ПРЕДЕЛАХ 1000
