"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Устные приёмы умножения и деления помогают быстро считать без записи столбиком. Для этого числа раскладывают на удобные части, используют разрядный состав и распределительное свойство умножения, а при делении опираются на таблицу умножения. Главное — подобрать разложение, которое упрощает вычисление, обработать каждую часть и проверить ответ обратным действием. Такие способы помогают не только считать в уме, но и замечать ошибки в письменных вычислениях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Устное умножение — вычисление произведения без письменной записи столбиком, с использованием известных свойств действий. Числа можно разбивать на удобные части и считать поэтапно, а затем соединять результаты. Такой способ помогает быстрее выполнять вычисления в уме. Он также позволяет увидеть, из каких простых действий складывается ответ.
Распределительное свойство умножения — правило, по которому число умножают на сумму или разность по частям: a · (b + c) = a · b + a · c. Например, чтобы умножить число на 19, можно представить 19 как 20 − 1. Свойство нужно, чтобы заменять непростое действие несколькими более удобными. При этом нельзя забывать умножить каждое слагаемое на множитель.
Устное деление — нахождение частного с помощью известных фактов умножения, разложения числа или деления на удобные части. Частное можно подобрать по таблице умножения либо разделить делимое на такие слагаемые, каждое из которых делится нацело. Это помогает выполнять деление без записи столбиком. Удачный выбор частей делает промежуточные вычисления простыми.
Связь умножения и деления выражает равенство: если a · b = c, то c : a = b и c : b = a. Например, из равенства 6 · 4 = 24 следует, что 24 : 6 = 4. Эта связь помогает находить частное и проверять деление. Для проверки частное умножают на делитель и сопоставляют результат с делимым.
Круглое число содержит одну или несколько разрядных единиц: например, 30 — это 3 · 10, а 400 — 4 · 100. Поэтому умножение на него можно свести к умножению на небольшое число и последующему увеличению результата в 10, 100 и так далее раз. Такой путь удобен, потому что сначала выполняется простое действие, а затем учитывается разряд. Например, 23 · 30 = 23 · 3 · 10 = 690.
Многозначное число можно представить суммой разрядных слагаемых: 347 = 300 + 40 + 7. При умножении такого числа на однозначный множитель распределительное свойство позволяет умножить на него каждое слагаемое отдельно. Причина в том, что умножение суммы на число равносильно сумме произведений. Например, 347 · 2 = 600 + 80 + 14 = 694; ни один разряд не пропускают.
Распределительное свойство помогает, когда один из множителей близок к круглому числу. Число можно заменить удобной суммой или разностью, вычислить простые произведения и затем сложить или вычесть их. Так, умножение на 19 можно заменить умножением на 20 и вычитанием одного такого множителя. Это работает потому, что 19 = 20 − 1, а умножение разности раскрывается по тому же свойству.
При делении на однозначное число частное удобно подбирать по таблице умножения: нужно найти число, которое при умножении на делитель даёт делимое. Если делимое велико, можно разложить его на слагаемые, делящиеся на этот делитель. Например, при делении на 3 разложение 936 = 900 + 30 + 6 удобно, потому что все три части делятся на 3. Подбор и разложение можно использовать вместе: известные табличные факты помогают посчитать каждую часть.
Деление также упрощается, если числа удаётся представить как произведения или разделить делимое на подходящие части. При разложении суммы на слагаемые сумма частных даст исходное частное, если каждая часть делится нацело на тот же делитель. Поэтому перед вычислением стоит проверить, удобно ли делятся выбранные слагаемые. В конце результат проверяют обратным действием: умножают частное на делитель и сравнивают произведение с делимым.
Используй таблицу так: сначала определи, к какой ситуации относится пример, затем выбери указанный приём и выполни промежуточные действия. В последнем столбце записаны пояснение или способ проверки. Таблица подсказывает не только как считать, но и на что обратить внимание, чтобы не потерять часть числа.
| Ситуация | Приём | Пример | Проверка или пояснение |
|---|---|---|---|
| Умножение на круглое число | Представить множитель как произведение числа и разрядной единицы. | 23 · 30 = 23 · 3 · 10 = 690 | 30 = 3 · 10, поэтому результат умножения на 3 увеличивают в 10 раз. |
| Умножение многозначного числа на однозначное | Разложить многозначное число на разрядные слагаемые и умножить каждое. | 24 · 3 = 20 · 3 + 4 · 3 = 72 | Сумма произведений равна произведению суммы на число. |
| Умножение на сумму или разность удобных чисел | Заменить множитель близкой круглой суммой или разностью. | 19 · 5 = (20 − 1) · 5 = 95 | Вычитаем одно произведение на 5: 100 − 5 = 95. |
| Деление на однозначное число | Подобрать частное по таблице умножения или разделить удобные слагаемые. | 936 : 3 = 900 : 3 + 30 : 3 + 6 : 3 = 312 | Каждое слагаемое делится на 3 без остатка. |
| Проверка деления умножением | Умножить полученное частное на делитель. | 936 : 3 = 312; 312 · 3 = 936 | Произведение совпало с делимым, значит деление проверено. |
Число 24 состоит из двух разрядных слагаемых: 20 и 4. Если умножить каждое на 3, получим две части искомого произведения. Складываем их, потому что 24 — это сумма 20 и 4. Так мы используем распределительное свойство, не пропуская ни один разряд.
Ответ: 72. Проверим оценкой: 24 — число немного меньше 30, поэтому произведение на 3 должно быть немного меньше 90. Ответ 72 подходит по величине. Проверка обратным действием тоже подтверждает результат: 72 : 3 = 24.
Умножать 19 на 5 можно напрямую, но число 19 близко к круглому числу 20. Представим его как разность 20 − 1, сохраняя множитель 5 для обеих частей. Это позволяет заменить сложное вычисление разности простых произведений. После вычитания проверим, что результат действительно немного меньше, чем 20 · 5.
Ответ: 95. Контрольная оценка: 20 · 5 = 100, а произведение 19 · 5 должно быть на 5 меньше. Поэтому 95 — правдоподобный результат. Важно вычитать именно 1 · 5, а не просто 1: уменьшение первого множителя на единицу уменьшает произведение на величину второго множителя.
Подберём разложение, в котором каждое слагаемое делится на 3. Число 936 удобно представить как 900 + 30 + 6: это разрядные части, и все они кратны 3. Найдём частное для каждой части и сложим полученные числа. Затем проверим результат умножением на делитель.
Ответ: 312. Проверка показывает, что умножение частного на делитель вернуло исходное делимое. Значит, частное подобрано верно. Если бы произведение оказалось другим, пришлось бы проверить разложение и вычисления для каждой части.
При умножении разложенного числа иногда умножают только первое слагаемое, например для 24 · 3 получают лишь 20 · 3. Так происходит, когда теряют из виду, что исходное число включает и десятки, и единицы. Чтобы проверить себя, запиши разложение полностью и убедись, что умножено каждое слагаемое. Затем сложи все полученные произведения.
Ещё одна ошибка — при умножении на сумму сначала сложить числа, не умножая слагаемые на множитель. Например, выражение a · (b + c) нельзя заменить на a · b + c. Ошибка возникает из-за того, что множитель теряется во второй части записи. Проверь равенство по правилу: каждый член суммы или разности должен быть умножен на один и тот же множитель.
При делении делимое могут разложить на части, одна из которых не делится нацело на делитель. Тогда легко получить неверное частное или остаток, не предусмотренный вычислением. Обычно так случается, когда слагаемые выбирают только по разрядам, не проверяя их делимость. До деления убедись, что каждая часть делится нацело, или выбери другое разложение.
Некоторые не проверяют деление или умножают при проверке не на тот множитель. Проверка нужна, чтобы обнаружить ошибку в подборе частного и промежуточных вычислениях. Умножать нужно именно частное на делитель, а затем сравнить произведение с делимым. Если числа не совпали, результат деления неверен.
Для устных вычислений нужны знания таблицы умножения и деления: по ней удобно подбирать частное и проверять простые произведения. Разрядный состав натуральных чисел помогает раскладывать многозначные числа на сотни, десятки и единицы. Также важно соблюдать порядок действий, если в выражении есть несколько операций. Эти умения позволяют выбирать подходящий приём, а не выполнять действия наугад.
Устные приёмы полезны при оценке результата и вычислениях с многозначными числами. Быстрая оценка помогает заметить ответ, который слишком велик или мал. Те же приёмы пригодятся для проверки письменных вычислений: можно пересчитать отдельные части или прикинуть, правдоподобен ли итог. Так устный счёт дополняет вычисление столбиком, а не заменяет его во всех случаях.
Зачем раскладывать число на разрядные слагаемые?
Так многозначное число превращается в сумму сотен, десятков и единиц, с которыми проще работать отдельно. Например, 24 = 20 + 4, поэтому умножение 24 на 3 можно выполнить как 20 · 3 + 4 · 3.
Можно ли при умножении на сумму сначала сложить слагаемые?
Можно, если сначала складывают именно слагаемые множителя, а затем умножают полученную сумму: a · (b + c) = a · b + a · c. Иногда выгоднее сразу воспользоваться правой частью равенства и посчитать каждое произведение отдельно.
Как выбрать удобное разложение числа для деления?
Выбирай такие части, которые делятся на делитель нацело и дают простые частные. Например, 936 удобно представить как 900 + 30 + 6 при делении на 3.
Как проверить результат деления?
Умножь частное на делитель и сравни результат с делимым. Если деление выполнено без остатка, произведение должно совпасть с делимым.
Всегда ли устный способ быстрее вычисления столбиком?
Нет, это зависит от чисел и от того, насколько удачно можно разложить их на удобные части. Если устный способ требует сложных промежуточных вычислений, запись столбиком может быть надёжнее.
Урок 1.Устные приемы умножения и деления
