Урок 2.Устные приемы умножения и деления

Определения и обозначения

Устное умножение — вычисление произведения без письменной записи столбиком, с использованием табличных случаев и свойств умножения. Например, сложное произведение можно заменить несколькими простыми. Такой приём нужен, чтобы быстро считать и выбирать удобный путь, а не выполнять одно и то же действие только одним способом.

Устное деление — нахождение частного мысленно или с краткой записью на основе таблицы умножения и связи умножения с делением. Если 6 · 7 = 42, то 42 : 6 = 7. Это помогает быстрее находить частное и проверять, получилось ли оно верным.

Распределительное свойство умножения позволяет умножить число на сумму или разность по частям, а затем сложить или вычесть результаты. Например, a · (b + c) = a · b + a · c. Свойство превращает неудобный множитель в несколько более простых и помогает считать без столбика.

Круглые числа — числа, которые оканчиваются одним или несколькими нулями, например 50, 300 или 4000. Их умножают и делят, отдельно учитывая значащие части и нули. Это упрощает действия, если не забывать, сколько нулей было в исходных числах.

Как это устроено

При умножении число можно разложить на слагаемые, произведения которых легко найти по таблице умножения. Например, 24 — это 20 и 4, а умножить на 20 и на 4 проще, чем сразу работать с 24. Поэтому вместо одного непривычного вычисления получаются два знакомых, а их результаты складывают.

Распределительное свойство работает потому, что при умножении суммы число берётся столько раз, сколько показывает множитель. Если в каждой группе есть 20 предметов и ещё 4, то несколько таких групп содержат несколько двадцаток и столько же четвёрок. Значит, каждый член суммы нужно умножить отдельно, а затем сложить произведения; пропуск одного члена изменит количество предметов.

Умножение на 10, 100 и 1000 удобно связывать с десятичной записью: каждая цифра переходит в разряд, который в 10, 100 или 1000 раз крупнее. Для целого числа это означает, что справа появляются соответственно один, два или три нуля. При делении на такое число разрядность уменьшается, поэтому у целого числа можно убрать соответствующее количество конечных нулей; если их нет, ответ может быть не целым.

При умножении круглых чисел сначала перемножают части без конечных нулей, а потом приписывают нули обоих множителей. Это следует из того, что каждый ноль означает множитель 10: например, 30 · 40 = 3 · 10 · 4 · 10. Значит, после 3 · 4 нужно учесть два множителя 10, то есть приписать два нуля.

При делении круглых чисел ищут одинаковые множители 10 в делимом и делителе: они сокращаются и не меняют частное. Поэтому сначала делят значащие части, если деление получается точным, а затем учитывают оставшиеся нули. Нельзя убирать нули только потому, что числа выглядят круглыми: сокращать можно лишь одинаковое их количество сверху и снизу.

Устные приёмы умножения и деления

Сначала выбери строку, подходящую к числам в примере, а затем выполни действие по правилу. Столбец проверки помогает заметить пропущенное слагаемое или ошибку с нулями. Если подходит несколько способов, выбери тот, в котором промежуточные вычисления проще.

Разбор задач

Задача 1. Вычислить устно: 7 · 24. Число 24 удобно разложить на 20 и 4: оба произведения легко найти. Умножаем каждую часть на 7 и складываем результаты, не забывая ни одну из частей.

1. Представим 24 как 20 + 4.
2. Применим распределительное свойство: 7 · 24 = 7 · (20 + 4) = 7 · 20 + 7 · 4.
3. Вычислим: 140 + 28 = 168.

Ответ: 168. Проверить рассуждение можно обратным прикидочным действием: 7 · 20 уже равно 140, поэтому результат должен быть немного больше 140. Полученное число этому условию соответствует.

Задача 2. Вычислить устно: 36 · 25. Здесь удобно использовать, что 25 — четверть от 100. Тогда умножение на 25 можно заменить умножением на 100 и делением на 4; такой путь короче, чем отдельно умножать 36 на 20 и на 5.

1. Запишем 25 как 100 : 4, поэтому 36 · 25 = 36 · 100 : 4.
2. Вычислим произведение с круглым числом: 36 · 100 = 3600.
3. Разделим результат на 4: 3600 : 4 = 900.

Ответ: 900. Можно проверить делением: 900 : 25 = 36, поскольку 25 · 36 снова даёт 900. Проверка подтверждает, что при преобразовании не изменилось значение произведения.

Задача 3. Вычислить и выполнить проверку: 840 : 20. В исходной записи после знака деления должно стоять число, поэтому рассматриваем корректный пример 840 : 20. У делимого и делителя есть по одному конечному нулю; их можно сократить, а затем разделить оставшиеся числа.

1. Сократим одинаковое число нулей: 840 : 20 = 84 : 2.
2. Найдём частное: 84 : 2 = 42.
3. Проверим умножением: 42 · 20 = 840.

Ответ: 42. При проверке частное умножили именно на делитель, а произведение совпало с делимым. Значит, результат деления верен.

Типичные ошибки

При разложении множителя иногда складывают его части, но умножают только одну из них: например, забывают, что во выражении 7 · (20 + 4) нужны оба произведения. Так случается, когда распределительное свойство применяют механически и теряют часть записи. Проверь, что каждый член суммы умножен на второй множитель, и повторно сложи полученные произведения.

При умножении круглых чисел можно приписать не то количество нулей, потому что ученик считает нули только в одном множителе или не считает их вовсе. Например, в 30 · 40 есть по одному нулю у каждого числа, всего два. Перед ответом отдельно перемножь части без нулей, затем пересчитай конечные нули в обоих множителях.

При делении иногда зачёркивают все нули подряд, хотя у делимого и делителя их разное количество. Ошибка возникает из-за похожести на сокращение при умножении круглых чисел. Убирай только одинаковое число конечных нулей в обоих числах; после этого проверь деление умножением частного на делитель.

Ещё одна ошибка — перепутать порядок действий или вместо деления выполнить умножение. Тогда ответ может выглядеть правдоподобно, но не удовлетворять исходному примеру. Запиши короткую проверку: частное умножить на делитель; если произведение не равно делимому, найди ошибку в вычислении или выборе действия.

Связь с другими темами

Для устных вычислений нужны таблица умножения и деления, знание состава числа и понимание действий с нулём и единицей. Распределительное свойство опирается на свойства умножения и позволяет преобразовывать выражения, не меняя их значения. Эти приёмы помогают и при письменных вычислениях: разложение числа делает промежуточные действия понятнее. В текстовых задачах и прикидке ответа они помогают быстрее посчитать и оценить, разумен ли результат.

Что запомнить

• Сложное число можно разложить на удобные слагаемые.
• При умножении суммы на число умножают каждое слагаемое и складывают результаты.
• При умножении на 10, 100 и 1000 к целому числу приписывают соответственно один, два или три нуля.
• В произведении круглых чисел учитывают нули обоих множителей.
• Деление можно проверить умножением частного на делитель.
• Устный приём выбирают так, чтобы свести вычисление к известным табличным случаям.