"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Устные приёмы умножения и деления помогают быстро считать, заменяя сложное вычисление несколькими простыми действиями. Для этого используют свойства умножения и деления, раскладывают числа на удобные слагаемые или группируют множители. Главное — преобразовать выражение так, чтобы его значение не изменилось, а считать стало легче. Результат деления полезно проверить умножением и прикидкой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Устное умножение — вычисление произведения без подробной письменной записи, с опорой на свойства действий и удобное разложение чисел. Например, вместо 7 · 23 можно посчитать 7 · 20 и 7 · 3. Такой способ нужен, чтобы быстрее находить ответ и выбирать более лёгкий путь вычисления.
Устное деление — нахождение частного с помощью последовательности более простых вычислений. Делимое можно представить суммой удобных чисел, разделить каждое из них и сложить полученные частные. Ответ проверяют умножением частного на делитель, чтобы убедиться, что восстановилось делимое.
Распределительное свойство умножения показывает, как умножить число на сумму или разность: умножить его на каждое слагаемое и сложить результаты либо вычесть одно из другого. Например, a · (b + c) = a · b + a · c. Свойство помогает заменить один трудный шаг несколькими более простыми.
Деление суммы на число — приём, при котором слагаемые делят на одно и то же число, а частные складывают. Он работает, если каждое слагаемое делится на делитель без остатка. Это условие позволяет получить целые частные и не потерять точность вычисления.
Свойства действий сохраняют значение выражения, даже если его записать в более удобном виде. Поэтому сложный пример можно превратить в несколько простых, не меняя правильного ответа. Приём выбирают не наугад: нужно видеть, какие числа легко умножаются или делятся. После преобразования полезно проверить, что все части выражения учтены.
При умножении число раскладывают на слагаемые, подходящие для вычисления. Например, 24 можно представить как 20 + 4: тогда 6 · 24 = 6 · 20 + 6 · 4 = 120 + 24 = 144. Причина такого способа — распределительное свойство: множитель действует на всю сумму. Если умножить только на одно слагаемое, часть исходного числа пропадёт.
Переместительное свойство позволяет поменять множители местами, а сочетательное — изменить их группировку. Например, в произведении 4 · 25 · 13 сначала удобно соединить 4 и 25: их произведение равно 100. Затем остаётся умножить 100 на 13, что проще, чем выполнять действия в исходной последовательности. Так получают удобную пару множителей, не меняя значения произведения.
При делении суммы на число делимое раскладывают на слагаемые, которые делятся на делитель без остатка. Например, 936 удобно представить как 900 + 36: оба слагаемых делятся на 6. Тогда можно найти два простых частных и сложить их. Если какое-то слагаемое не делится на делитель, именно такое разложение не подходит.
Проверка умножением основана на связи деления и умножения: делитель, умноженный на частное, должен дать делимое. Для 936 : 6 = 156 проверяем: 156 · 6 = 936. Прикидка помогает заметить и другие ошибки: поскольку 936 немного меньше 960, частное при делении на 6 должно быть немного меньше 160. Проверка и оценка дополняют друг друга.
| Ситуация | Как преобразовать вычисление | Условие или проверка |
|---|---|---|
| Умножение числа на сумму | Умножить на каждое слагаемое и сложить произведения | Ни одно слагаемое не пропускают |
| Умножение нескольких множителей | Переставить или сгруппировать множители удобным образом | Значение произведения сохраняется |
| Умножение круглых чисел | Сначала получить множитель 10, 100 или 1000 | Учитывать разрядность чисел |
| Деление суммы на число | Разделить слагаемые и сложить частные | Каждое слагаемое делится без остатка |
| Проверка деления | Умножить частное на делитель | Должно получиться исходное делимое |
Сначала определи, какая строка таблицы подходит к примеру, а затем проверь указанное условие. Для умножения ищи разложение или группировку, которая упрощает действия. Для деления отдельно убедись, что выбранные слагаемые делятся на делитель.
Вычислить устно 7 · 23. Здесь удобно разложить 23 на десятки и единицы, потому что оба получившихся произведения легко найти. Затем применим распределительное свойство: множитель 7 нужно отнести к каждому слагаемому. Наконец сложим результаты, чтобы получить общее произведение.
Ответ: 161. Проверка обратным разложением показывает, что сложены оба частичных произведения: 7 · 20 и 7 · 3. Если бы умножили только на 20, получили бы лишь часть ответа. Поэтому при раскрытии суммы важно обработать каждое слагаемое.
Вычислить удобным способом 4 · 25 · 13. В исходном произведении есть множители 4 и 25, которые вместе дают круглое число. Переместительное и сочетательное свойства разрешают поставить их рядом и вычислить первыми. После этого оставшееся действие становится простым умножением на 100.
Ответ: 1300. Способ удобен, потому что умножение на 100 не требует сложных вычислений: к числу приписывают два нуля. Порядок множителей изменился, но произведение осталось тем же. Для проверки можно сначала оценить результат: 4 · 25 уже равно 100, значит итог должен быть в 100 раз больше 13.
Вычислить устно 936 : 6 и проверить ответ. Подберём разложение делимого, в котором оба слагаемых делятся на 6. Числа 900 и 36 подходят, поэтому каждое частное найдётся легко. После сложения проверим результат умножением и прикидкой.
Ответ: 156. Проверка вернула исходное делимое, значит вычисление согласуется с правилом деления. Прикидка тоже подходит: 936 близко к 960, а 960 : 6 = 160, поэтому частное должно быть немного меньше 160. Полученное число 156 этому условию соответствует.
При умножении на сумму иногда умножают только на первое слагаемое: например, записывают 7 · (20 + 3) = 7 · 20. Так происходит, когда забывают, что множитель относится ко всей сумме. Проверь себя: в преобразовании должны появиться произведения с каждым слагаемым — и 20, и 3.
Деление суммы по слагаемым применяют, не проверив, делится ли каждое из них на делитель. Тогда одно из действий может дать остаток, и выбранный способ не упрощает вычисление. Перед тем как складывать частные, раздели каждое слагаемое отдельно или подбери другое разложение.
Иногда при делении переставляют числа или меняют группировку так, будто деление обладает свойствами умножения. Это ошибка: например, перестановка делимого и делителя обычно меняет частное. Проверяй допустимость каждого шага правилом или равенством; свойства умножения нельзя автоматически переносить на деление.
При проверке можно умножить частное не на делитель или взять числа не из исходного примера. Тогда проверка не подтверждает решение, даже если вычисление выполнено правильно. Сначала подпиши роли чисел: частное умножается на делитель, а результат должен совпасть с делимым. Дополнительно оцени, правдоподобен ли размер ответа.
Для устных приёмов нужны знание таблицы умножения и деления, разрядного состава натуральных чисел и порядка действий. Эти умения позволяют разлагать числа на десятки и единицы и не путаться в вычислениях. Также нужно применять переместительное, сочетательное и распределительное свойства действий.
Устные вычисления помогают прикидывать результат письменных примеров и проверять его. Если ответ сильно отличается от разумной оценки, стоит найти ошибку до завершения решения. Те же приёмы пригодятся в задачах с натуральными числами, где удобно считать отдельные части величины.
Как понять, на какие слагаемые удобнее разложить число?
Выбирай такие слагаемые, которые легко умножить или разделить на нужное число. Например, 24 удобно представить как 20 + 4 при умножении, а 936 — как 900 + 36 при делении на 6. После разложения проверь, действительно ли вычисления стали проще.
Можно ли при устном умножении менять множители местами?
Да, при умножении множители можно менять местами: от этого произведение не изменится. Можно также по-разному группировать множители. Это помогает сначала получить удобное число, например 4 · 25 = 100.
Почему при делении суммы на число важно проверять делимость каждого слагаемого?
Этот приём применим, когда каждое слагаемое делится на делитель без остатка. Тогда можно найти отдельные частные и сложить их. Если одно слагаемое не делится, такое разложение не даст нужного способа вычисления.
Как проверить устное деление?
Умножь частное на делитель: должно получиться исходное делимое. Например, если 936 : 6 = 156, то проверка: 156 · 6 = 936. Также оцени ответ: он должен быть подходящим по величине.
Что делать, если выбранное разложение не упрощает вычисление?
Попробуй представить число по-другому, чтобы получить слагаемые или множители, с которыми проще считать. Например, при делении 936 на 6 подходят 900 и 36, а случайное разложение может усложнить вычисления. Если удобный вариант не находится, можно воспользоваться обычным письменным способом.
Урок 3.Устные приёмы умножения и деления
