"Математика (в 2 частях)", Миракова Т.Н., Пчелинцев С.В., Разумовский В.А. и др.
Устные приёмы умножения и деления помогают быстро считать без записи столбиком. Числа можно разложить на разрядные слагаемые, представить круглыми или подобрать удобные множители. Выбор способа зависит от конкретных чисел: например, иногда проще умножить по частям, а иногда — перегруппировать множители. При делении полезно опираться на связь деления с умножением и проверять, правдоподобен ли ответ.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Устный приём умножения — способ вычислить произведение без письменной записи столбиком. Способ выбирают по числам: можно умножить по частям, переставить множители или сгруппировать их. Это помогает считать быстрее и не выполнять лишних действий.
Устный приём деления — способ найти частное, преобразуя числа или используя связь деления с умножением. Например, частное можно подобрать так, чтобы произведение делителя и предполагаемого ответа совпало с делимым. Такой подход полезен, когда деление легко проверить обратным действием.
Распределительное свойство умножения позволяет умножить сумму на число по частям: (a + b) · c = a · c + b · c. Для разности действует похожее правило: (a − b) · c = a · c − b · c. Оно нужно, чтобы заменить неудобное вычисление несколькими более простыми.
Круглое число — число, которое оканчивается одним или несколькими нулями, например 70 или 500. Его удобно представить как произведение числа без нулей и разрядной единицы: 500 = 5 · 100. Тогда при умножении можно отдельно работать со значащими частями и учитывать разряд.
Чтобы умножить число на однозначное, можно разложить его на разрядные слагаемые: десятки, сотни и единицы. Например, 34 — это 30 + 4, поэтому 34 · 3 = (30 + 4) · 3. По распределительному свойству умножаем каждое слагаемое на 3, а затем складываем результаты. Такой способ работает потому, что исходное число не меняется: его части вместе дают то же число.
Круглое число можно записать как произведение числа без нулей и 10, 100, 1000 или другой разрядной единицы. Поэтому в выражении 24 · 300 сначала удобно вычислить 24 · 3, а затем умножить на 100. Умножение на 100 сдвигает результат на два разряда, что в записи натурального числа означает добавление двух нулей. Нули учитывают после умножения значащих частей, чтобы не перепутать их количество.
Если множитель близок к круглому числу, его можно заменить суммой или разностью круглого числа и небольшой части. Например, 19 · 6 легче посчитать как (20 − 1) · 6: сначала получить 120, а затем вычесть 6. Это следует из распределительного свойства, поэтому результат остаётся точным, а не приблизительным. Выбирай такое разложение, при котором обе части удобно умножать.
При делении на круглое число иногда можно разделить делимое и делитель на одинаковое число. Например, 840 : 20 = 84 : 2, потому что оба числа разделили на 10 и частное сохранилось. Если делитель оканчивается нулями, нужно учитывать их разрядность и менять оба числа, а не только делитель. Такое преобразование удобно, когда новое деление выполняется проще.
Деление проверяют умножением: делитель · частное должно равняться делимому, если деление выполнено без остатка. Эта проверка основана на том, что деление и умножение — обратные действия. Прикидка помогает заметить ошибку ещё до точной проверки: например, 840 : 24 должно быть около 800 : 20, то есть около 40. Поэтому ответ 35 выглядит правдоподобно, а 350 — нет.
| Ситуация | Как рассуждать | Пример |
|---|---|---|
| Умножение числа на однозначное число | Разложить число на разрядные слагаемые, умножить каждое и сложить. | 34 · 3 = 30 · 3 + 4 · 3 = 102 |
| Умножение на круглое число | Сначала перемножить числа без нулей, затем учесть разрядную единицу. | 24 · 300 = 24 · 3 · 100 = 7200 |
| Умножение с разложением множителя на удобные слагаемые | Представить множитель суммой или разностью и применить распределительное свойство. | 19 · 6 = (20 − 1) · 6 = 114 |
| Деление на круглое число | Изменить делимое и делитель одинаково, сохранив частное. | 840 : 20 = 84 : 2 = 42 |
| Проверка деления умножением | Умножить делитель на частное и сравнить с делимым. | 840 : 24 = 35; 24 · 35 = 840 |
Сначала найди в таблице ситуацию, похожую на своё выражение, а затем примени указанный ход рассуждений. Примеры показывают не единственный возможный способ, а удобный вариант для конкретных чисел. После вычисления проверь, что учтены все разрядные единицы и нули.
Число 34 состоит из 3 десятков и 4 единиц. Умножить его целиком на 3 можно, если умножить каждую часть отдельно. Затем нужно сложить полученные произведения, потому что исходное число было суммой 30 и 4.
Ответ: 102. Проверка обратным действием подтверждает вычисление: 102 : 3 = 34. Здесь разложение на десятки и единицы делает оба умножения простыми.
В этом выражении можно изменить группировку множителей, не меняя произведения. Число 16 представим как 4 · 4, тогда получим произведение трёх множителей. Четвёрки удобно сгруппировать с 25: сначала 25 · 4 даёт 100, а затем умножение на оставшуюся 4 становится лёгким.
Ответ: 400. Проверить результат можно, разложив 16 на 10 и 6: 25 · 10 + 25 · 6 = 250 + 150 = 400. Перегруппировка удобна, потому что произведение 25 · 4 — круглое число.
Здесь удобно не выполнять деление столбиком, а подобрать число, на которое нужно умножить 24, чтобы получить 840. Сначала можно оценить ответ: 840 : 24 близко к 800 : 20, то есть примерно к 40. Проверим подходящее число, разложив его на удобные множители.
Ответ: 35. Проверка выполнена обратным действием: 24 · 35 = 840. Прикидка тоже подходит: 35 близко к оценке около 40, поэтому найденное частное правдоподобно.
При умножении на круглое число иногда приписывают нули к одному из множителей ещё до умножения. Так легко добавить лишний ноль или неверно учесть разряд. Сначала умножь значащие части, а затем добавь нули, соответствующие круглому множителю. Для самопроверки представь его как произведение, например 300 = 3 · 100.
При разложении множителя на слагаемые можно умножить только одну часть и забыть про остальные. Это нарушает распределительное свойство: произведение должно включать результат умножения каждого слагаемого. Запиши выражение в виде (a + b) · c = a · c + b · c и сверься с ним. Если слагаемых два, в итоговой записи должны быть два произведения.
При делении на круглое число иногда убирают нули только у делителя. Тогда делитель уменьшается, а делимое остаётся прежним, поэтому частное меняется. Чтобы сохранить его, раздели оба числа на одно и то же число. Проверка умножением покажет ошибку: полученное частное в паре с новым делителем уже не даст исходное делимое.
При проверке деления можно по ошибке сложить делитель и частное. Но деление связано с умножением, поэтому для проверки нужно перемножить эти числа. Например, для 840 : 24 = 35 проверяем 24 · 35 = 840. Если произведение не совпало с делимым, пересчитай частное; при делении с остатком также учитывают остаток.
Для устных вычислений нужно уверенно выполнять действия с натуральными числами и представлять число суммой разрядных слагаемых. Распределительное свойство помогает умножать по частям, а переместительное и сочетательное свойства позволяют менять порядок и группировку множителей. Это даёт возможность выбирать более удобный способ, а не следовать одному алгоритму. Устные приёмы пригодятся для прикидки, проверки письменных вычислений и решения задач с натуральными числами.
Почему число удобно раскладывать на разрядные слагаемые?
Так число представляется как сумма десятков, сотен и единиц, а каждую часть проще умножить отдельно. Затем результаты складывают, получая то же произведение.
Можно ли при умножении на круглое число просто приписать нули?
Нули можно приписать только после того, как перемножены числа без нулей. Например, 24 · 300 = 24 · 3 · 100 = 7200.
Как выбрать, на какие слагаемые разложить число?
Выбирай такое разложение, при котором каждую часть легко умножить или сложить. Часто удобно отделить десятки от единиц либо представить число как круглое число плюс небольшое число.
Почему при делении на круглое число нельзя убрать нули только у делителя?
Если изменить только делитель, частное изменится. Чтобы сохранить частное, нужно разделить и делимое, и делитель на одно и то же число.
Как проверить результат устного деления?
Умножь делитель на найденное частное: должно получиться делимое. Дополнительно оцени ответ приблизительно, заменив числа близкими удобными числами.
Урок 4.Устные приёмы умножения и деления
